Câu 131: Biết rằng đường thẳng \(d: - 3x + m\) cắt đồ thị (C): \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đồ thị (C), với \(O\left( {0;0} \right)\) là gốc tọa độ. Khi đó giá trị của tham số m thuộc tập hợp nào sau đây? A. \(\left( { - \infty ; - 3} \right]\) B. \(\left( {3; + \infty } \right)\) C. \(\left( { - 2;3} \right]\) D. \(\left( { - 5; - 2} \right]\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = - 3x + m \Rightarrow 2x + 1 = \left( { - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow - 3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x - m - 1 = 0\left( 1 \right)\) Để đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) tai hai điểm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 10m - 11 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > - 1}\\{m < - 11}\end{array}} \right.\) Với điều kiện như trên thì d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt \(A\left( {{x_A}; - 3{x_A} + m} \right);B\left( {{x_B}; - 3{x_B} + m} \right)\) Theo Viet ta có: \({x_A} + {x_B} = \frac{{1 + m}}{3}\) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3} = \frac{{m + 1}}{9}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3} = \frac{{ - 3\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 2m}}{3} = \frac{{m - 1}}{3}}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m - 1}}{3}} \right)\) Vì điểm G thuộc (C) nên \(\frac{{m - 1}}{3} = \frac{{2.\frac{{m + 1}}{9} + 1}}{{\frac{{m + 1}}{9} - 1}}\). Giải phương trình kết hợp với điều kiện suy ra \(m \ge 3\)
Câu 132: Cho đồ thị \(\left( C \right):y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\). Biết rằng, có hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) và cách đều hai trục tọa độ. Giả sử các điểm đó lần lượt là M và N. Tìm độ dài đoạn thẳng MN. A. \(MN = 4\sqrt 2 \) B. \(MN = 2\sqrt 2 \) C. \(MN = 3\sqrt 5 \) D. \(MN = 3\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) điểm thuộc (C) và cách đều hai trục tọa độ. Khi đó: \(\left| {{x_0}} \right| = \left| {{y_0}} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = {y_0}}\\{{x_0} = - {y_0}}\end{array}} \right.\) + Nếu \({x_0} = {y_0}\) thì ta có \({x_0} = \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow {x_0}\left( {{x_0} + 1} \right) = {x_0} - 3 \Leftrightarrow x_0^2 = - 3\) (vô nghiệm) + Nếu \({x_0} = - {y_0}\) thì ta có: \( - {x_0} = \frac{{{x_0} - 3}}{{{x_0} + 1}} \Leftrightarrow - x_0^2 - 2{x_0} + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = - 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right)}\\{{x_0} = - 3 \Rightarrow {y_0} = 3 \Rightarrow N\left( { - 3;3} \right)}\end{array}} \right.\) \(MN = \sqrt {{{\left( { - 3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 .\)
Câu 133: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\left| {{x^2} - 3} \right|\) và đường thẳng \(y = 2.\) A. \(n = 6\) B. \(n = 8\) C. \(n = 2\) D. \(n = 4\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \({x^2}\left| {{x^2} - 3} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left( {{x^2} - 3} \right) = 2{\rm{ }}khi{\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \sqrt 3 }\\{x \le - \sqrt 3 }\end{array}} \right.}\\{{x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) = 2{\rm{ - }}\sqrt 3 < x < \sqrt 3 }\end{array}} \right.\) Giải: \({x^2}\left( {{x^2} - 3} \right) = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \) (thỏa mãn) Giải: \({x^2}\left( { - {x^2} + 3} \right) = 2 \Leftrightarrow - {x^4} + 3{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm 1}\\{x = \pm \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) (thỏa mãn) Vậy có 6 giao điểm: \(n = 6.\)
Câu 134: Hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho trong các phương án A, B, C, D; hỏi đó là hàm nào? A. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) B. \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\) C. \(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x - 1}}\) D. \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị hàm số suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số vậy loại A và C. Từ đồ thị suy ra \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên loại B.
Câu 135: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}.\) A. \(x = - 1\) B. \(x = 1\) C. \(y = 3\) D. \(y = 2\) Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = 3\) suy ra \(y = 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 136: Đồ thị đã cho bên cạnh là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. \(y = - {x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 1.\) B. \(y = - 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 1.\) C. \(y = 2{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1.\) D. \(y = {x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 1.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị và đáp án ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \end{array} \right. \Rightarrow \)Hệ số của \({x^3}\) dương nên loại A, B. Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \) Loại D.
Câu 137: Các giá trị m để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2} + 3\) tại 4 điểm phân biệt là: A. \(\frac{5}{2} < m < 3.\) B. \(\frac{1}{2} < m < 3.\) C. \(m > 3.\) D. \(\frac{1}{2} < m < \frac{5}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số:\(y = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2} + 3\) \(y' = 2{x^3} - 2x;\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^4} - {x^2} + 3\) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi m thuộc khoảng \(\left( {\frac{5}{2};3} \right) \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < 3.\)
Câu 138: Cho hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {2;5} \right)\) cắt hai đường tiệm cận tại E và F. Khi đó độ dài EF là: A. \(2\sqrt {13} .\) B. \(\sqrt {13} .\) C. \(\sqrt {10} .\) D. \(2\sqrt {10} .\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \(x = 1,y = 2.\) Ta có: \(y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 2 \right) = - 3.\) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại M \( \Rightarrow \Delta :y = - 3\left( {x - 2} \right) + 5 \Leftrightarrow y = - 3{\rm{x}} + 11\) \(Suy\,\,ra\,\,\left\{ \begin{array}{l}E\left( {1;8} \right) = \Delta \cap \left( {x = 1} \right)\\F\left( {3;2} \right) = \Delta \cap \left( {y = 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{EF}} = 2\sqrt {10} .\)
Câu 139: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có bao nhiêu tiệm cận? A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 4}}{{\sqrt {{x^2} - 2} }} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4} = 0 \Rightarrow x = \pm 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm 2} y = + \infty \end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.
Câu 140: Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}.\) A. \(2\sqrt 3 \). B. \(2\sqrt 5 \). C. \(1\). D. \(2\sqrt 2 \). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = 2 + \frac{1}{{x - 1}}\) và tiệm cận đứng là \(x = 1\). Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) lần lượt là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị thỏa \({x_1} < 1 < {x_2}\). Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 - {x_1}\\b = {x_2} - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1 - a \Rightarrow {y_1} = 2 - \frac{1}{a}\\{x_2} = b + 1 \Rightarrow {y_2} = 2 + \frac{1}{b}\end{array} \right.\) Ta có \(A{B^2} = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {\frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right] \ge 4ab.\frac{2}{{ab}} = 8.\) Suy ra \(A{B_{\min }} = 2\sqrt 2 \).
