Câu 141: Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\left( C \right)\). Tìm giá trị \(m\) để đường thẳng \(d:y = x + m\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(A\) hoặc \(B\). A. \(m = 1 \pm \sqrt 5 \). B. \(m = 1 \pm \sqrt 3 \). C. \(m = 1 \pm \sqrt 2 \). D. \(m = 1 \pm \sqrt 6 \). Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x + 1 - m = 0\,\,\left( * \right)\). Ta có \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt khi chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - 2m + 5 > 0\\{\left( 1 \right)^2} + \left( {m - 3} \right).1 + 1 - m \ne 0\end{array} \right.\) (luôn đúng với mọi \(m\)). Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm phương trình \(\left( * \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right.\) và \(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại \(A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right),\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1}} \right)\) cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {1;1} \right)\). Tam giác \(OAB\) vuông tại \(A\) khi chỉ khi \(\overrightarrow {OA} .\vec u = 0 \Leftrightarrow 2{x_1} + m = 0\). Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}{x_2} = 1 - m\\2{x_1} = - m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_1} = - m\\2{x_2} = 6 - m\\ - m\left( {6 - m} \right) = 4 - 4m\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 5 \\m = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\).
Câu 142: Tìm phương trình các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}.\) A. \(y = 1\). B. \(y = - 1\). C. \(x = 1\). D. \(y = 1\) và \(y = - 1\). Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = - 1\) vậy \(y = - 1\) là một đường tiệm cận ngang. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = 1\) vậy \(y = 1\) là một đường tiệm cận ngang.
Câu 143: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây: A. \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3.\) B. \(y = - {x^4} + 2{x^2}\). C. \(y = {x^4} - 2{x^2}\). D. \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\). Spoiler: Xem đáp án Nhận thấy đây là đồ thị hàm bậc bốn có hệ số \(a > 0\) nên loại đáp án A và B. Hàm số đạt cực đại tại \(O\left( {0;0} \right)\). nên đi qua điểm \(O\left( {0;0} \right)\). Vậy chọn đáp án C.
Câu 144: Phương trình đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) lần lượt là: A. \(x = 1\) và \(y = 1\). B. \(x = - 1\) và \(y = 1\). C. \(y = 1\) và \(x = 1\). D. \(y = 2\) và \(x = 1\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \Rightarrow x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Câu 145: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Spoiler: Xem đáp án Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\) . Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = 3}\\{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}} = 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 3.\) Số tiệm cận đứng là số nghiệm hpt:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x = 0\\\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\backslash \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\\\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2 \ne 0\end{array}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 1 \Rightarrow \) đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 1\) Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Câu 146: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \(f\left( x \right) = m\) có đúng ba nghiệm thực phân biệt. A. \(\left[ { - 4;2} \right).\) B. \(\left( { - 4;2} \right).\) C. \(\left( { - \infty ;2} \right].\) D. \(\left( { - 4;2} \right].\) Spoiler: Xem đáp án Để phương trình \(f\left( x \right) = m\) có đúng ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện \( - 4 < m < 2\).
Câu 147: Tìm tất cả tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}\). A. \(x = - 1;x = 1;y = 1\). B. \(x = - 1;y = 1\). C. \(x = - 1;x = 1\). D. \(x = - 1;x = 1;y = 0\). Spoiler: Xem đáp án +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = 1\) . Suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. +) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = - \infty \) ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \) . Suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. +)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \);\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) = + \infty \). Suy ra \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 148: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số được liệt kê ở bốn phương án \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = \frac{{ - x - 1}}{{x + 1}}\). B. \(y = - {x^4} + 4{x^2}\). C. \(y = - {x^3} + 3x\). D. \(y = {x^4} - 4{x^2}\). Spoiler: Xem đáp án Từ hình dạng của đồ thị ta suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương. Mặt khác: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty \) nên hệ số của \({x^4}\) âm. Vậy B là phương án đúng.
Câu 149: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\). A. \(y = 2\). B. \(x = - 1\). C. \(x = 2\). D. \(y = - 1\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 2\). Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 2\).
Câu 150: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có hai nghiệm phân biệt là: A. \(m \ge 2\) và \(m \le 1\) B. \(0 < m < 1\) C. \(m > 2\) và \(m < 1\) D. \(0 < m < 1\) và \(m > 1\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) gồm 2 phần Phần 1: Lấy phần của (C) nằm trên Ox. Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C) dưới trục Ox qua Ox. Dựa vào đồ thị ta thấy \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 2 nghiệm khi và chỉ khi \(m > 1\) hoặc \(0 < m < 1.\)
