Câu 151: Tất cả đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} - 4} }}{{{x^2} - 4x + 3}}\) là: A. \(y = 0,y = 1\) và \(x = 3\) B. \(y = 1\) và \(x = 3\) C. \(y = 0,x = 1\) và \(x = 3\) D. \(y = 0\) và \(x = 3\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 4 \ge 0}\\{{x^2} - 4x + 3 \ne 0}\end{array}} \right.(*)\). \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} - 4} }}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{4}{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 4} } \right)}}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \Rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. \(\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} - 4} } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1\,(khong\,thoa\,(*))}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 3,\) tiệm cận ngang là \(y = 0.\)
Câu 152: Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. \(a > 0,b > 0,c > 0\) B. \(a > 0,b < 0,c < 0\) C. \(a > 0,b < 0,c > 0\) D. \(a < 0,b > 0,c > 0\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) do đó \(a > 0\) Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm \(\left( {O;c} \right) \Rightarrow c > 0\). Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x(2a{x^2} + b) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\) Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị suy ra phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt hay: \(\frac{{ - b}}{{2a}} > 0 \Rightarrow b < 0.\)
Câu 153: Số giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) và \(y = {x^2} - x - 1\) là: A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {x^2} - x - 1\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Câu 154: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(bc > 0,ad < 0.\) B. \(ac > 0,bd > 0.\) C. \(ab < 0,cd > 0.\) D. \(bd < 0,ad > 0.\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c} > 0 \Rightarrow c{\rm{d}} < 0 \Rightarrow \) loại C; tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0\). Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(\frac{b}{d} < 0 \Leftrightarrow b{\rm{d}} < 0 \Rightarrow \)loại B. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ âm nên \( - \frac{b}{a} < 0 \Leftrightarrow ab > 0.\) Do \(c{\rm{d}} < 0,\,\,ac > 0 \Rightarrow a{\rm{d}} < 0\) nên loại D.
Câu 155: Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} }}{{{x^2} + x - 2}}.\) A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số chính là số nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} \ne 0\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\rm{x}} - 1 - \sqrt {{x^2} + 2{\rm{x}} + 6} \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\) Vậy hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng.
Câu 156: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right].\) A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|\) từ đồ thị hàm số \(y = f(x)\) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số \(y = f(x)\) ở phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số \(y = f(x)\) phía dưới trục hoành. + Xóa phần đồ thị hàm số \(y = f(x)\) dưới trục hoành. Ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {f(x)} \right|:\) Từ hình vẽ trên thì đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) tại 6 điểm phân biệt. Do đó phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 1\) có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 157: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right).\) A. \(N\left( {2;2} \right).\) B. \(x = 0.\) C. \(y = - 2.\) D. \(M\left( {0; - 2} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số đạt cực trị tại \(\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {2;2} \right)\) trong đó điểm cực tiểu là \(M\left( {0; - 2} \right).\)
Câu 158: Đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\) và đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \( - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1 = {x^2} - 2{\rm{x}} - 1\) \( \Leftrightarrow - {x^3} + 2{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 2{\rm{x}} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1 + \sqrt 5 \\x = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right. \Rightarrow \) hai đồ thị có 3 điểm chung.
Câu 159: Cho hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}}.\) Khẳng định nào dưới đây đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = - \frac{1}{2}.\) B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{2}.\) C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(y = \frac{1}{2}.\) D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{2{\rm{x}} - 1}}.\) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) Ta có: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} = + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} = - \infty \) \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to \pm \infty } = \frac{3}{2}.\) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = \frac{1}{2}\) và tiệm cận ngang là \(y = \frac{3}{2}.\)
Câu 160: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\). Giá trị của m để phương trình \({x^3} - 3x - 1 = m\) có 3 nghiệm đôi một khác nhau là: A. \(1 < m < 3\) B. \(m = 0\)\ C. \(m = 0,m = 3\) D. \( - 3 < m < 1\) Spoiler: Xem đáp án Quan sát đồ thị ta thấy để phương trình \({x^3} - 3x - 1 = m\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x - 1\) và đường thẳng \(y = m\) có 3 giao điểm khi đó \( - 3 < m < 1.\)
