Câu 161: Cho biết hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? khẳng định nào đúng? A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{{b^2} - 3ac > 0}\end{array}} \right.\) B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{{b^2} - 3ac > 0}\end{array}} \right.\) C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0}\\{{b^2} - 3ac < 0}\end{array}} \right.\) D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0}\\{{b^2} - 3ac < 0}\end{array}} \right.\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy hàm số có \(a > 0\) và có 2 cực trị suy ra \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt hay \(\Delta = 4{b^2} - 12ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 3ac > 0.\)
Câu 162: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây là sai A. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) B. \(f\left( { - 1} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. C. \({x_0} = 1\) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số. D. \(M\left( {0;2} \right)\) được gọi là điểm cực tiểu của hàmsố. Spoiler: Xem đáp án + Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) \( \Rightarrow \) A đúng. + \(x = - 1;x = 1\) là các điểm cực tiểu của hàm số, \(f\left( { - 1} \right);f\left( 1 \right)\) là các giá trị cực tiểu của hàm số\( \Rightarrow \) B, C đúng. + \(M\left( {0;2} \right)\) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \( \Rightarrow \) D sai.
Câu 163: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}?\) A. \(x = 1\) B. \(y = 1\) C. \(y = 2\) D. \(x = 2\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có tiệm cận ngang là \(y = 2.\)
Câu 164: Biết rằng đường thẳng \(d:y = - x + m\) luôn cắt đường cong \(\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) tại hai điểm phân biệt A, B. Độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. \(\sqrt 6 \) B. \(2\sqrt 6 \) C. \(3\sqrt 6 \) D. 4 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {4 - m} \right)x + 1 - 2m = 0\) Gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai giao điểm, khi đó có \({x_1} + {x_2} = m - 4;{x_1}{x_2} = 1 - 2m\) \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_1} - {y_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( { - {x_1} + m - {x_2} - m} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 8{x_1}{x_2}} \) \( = \sqrt {2{{\left( {m - 4} \right)}^2} - 8.\left( {1 - 2m} \right)} = \sqrt {2{m^2} + 24} \ge \sqrt {24} = 2\sqrt 6 \)
Câu 165: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}.\) A. \(x = 1\) B. \(x = 3\) C. \(x = 1\) và \(x = 3\) D. \(y = 1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} - 4x + 3}} = \frac{{(x - 1)(x + 3)}}{{(x - 1)(x - 3)}} = \frac{{x + 3}}{{x - 3}}\) Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=3.
Câu 166: Đồ thị như hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = \frac{{x + 1}}{{1 + 2x}}.\) B. \(y = \frac{{1 - x}}{{2x - 1}}.\) C. \(y = \frac{{x - 1}}{{2x - 1}}.\) D. \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 1}}.\) Spoiler: Xem đáp án Từ hình vẽ suy ra (C) qua điểm (1;0) và (0;-1). Loại A và C. Từ hình vẽ suy ra hàm số nghịch biến trên TXD. Đáp án B cho \(y = - \frac{{x - 1}}{{2x - 1}} \Rightarrow y' = - \frac{1}{{{{(2x - 1)}^2}}} < 0\) và đáp án D cho \(y' = \frac{3}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0.\) Vậy B là phương án đúng.
Câu 167: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - m - 1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ dương. A. \((4 - \sqrt 2 ; + \infty ).\) B. \((1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\) C. \(( - 1;0) \cup (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\) D. \((4 - \sqrt 3 ; + \infty ).\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3(m + 1){x^2} + 6mx - m - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6(m + 1)x + 6m;\forall x \in \mathbb{R}.\) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - m) = 0 \Leftrightarrow \left( \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = m\end{array} \right.\) Do hệ số của \({x^3}\) nên ta sẽ có hai trường hợp sau: TH1. Nếu \({x_1} = 1 > {x_2} = m \Leftrightarrow m < 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1},{x_2} > 0\\f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\(2m - 2)(3{m^2} - {m^3} - m - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > m > 0\\{m^3} - 3{m^2} + m + 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .\) TH2. Nếu \({x_1} = 1 < {x_2} = m \Leftrightarrow m > 1.\) Để \(\left( C \right)\) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0\\f\left( 0 \right) < 0\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\(2m - 2)(3{m^2} - {m^3} - m - 1) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^3} - 3{m^2} + m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m > 1 + \sqrt 2 \Rightarrow m \in (1 + \sqrt 2 ; + \infty ).\end{array}\)
Câu 168: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 2}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x=2. Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\end{array} \right.\) nên đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y=1 và y = -1.
Câu 169: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + m}}{{x + 1}}\) cắt đường thẳng y=1-x tại hai điểm phân biệt. A. \(\left( { - \infty ;2} \right).\) B. \(\left( { - \infty ;2} \right).\) C. \(\left( { - \infty ; - 2} \right).\) D. \(\left( {2; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\frac{{2x + m}}{{x + 1}} = 1 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\g(x) = {x^2} + 2x + m - 1 = 0\end{array} \right.\) Điều kiện đề đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + m}}{{x + 1}}\) và đường thẳng y=1-x cắt nhau tại hai điểm phẩn biệt là: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_{g(x)}} = 1 - m + 1 > 0\\g( - 1) = m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 > m.\)
Câu 170: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - x}}?\) A. \(y = 2.\) B. \(y = - 2.\) C. \(x = - 2.\) D. \(x = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } = - 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y=-2.
