Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng y=2m-1 cắt đồ thị của hàm số \(y = |x{|^3} - 3|x| + 1\) tại 4 điểm phân biệt. A. \(0 < m < 1.\) B. \(0 \le m \le 1.\) C. \(m \ge 1\) D. \(m \le 0.\) Spoiler: Xem đáp án Vì y(x) =y(-x) nên \(y = |x{|^3} - 3|x| + 1\) là hàm số chẵn, do dó đồ thị của hàm số \(y = |x{|^3} - 3|x| + 1\)nhận trục tung làm trục đối xứng. Vì vậy đồ thị của hàm số gồm hai phần đồ thị: Phần 1: là phần đồ thị \(({C_1}):y = {x^3} - 3x + 1\) nằm phía bên phải trục Oy Phần 2: là phần đồ thị của phần 1 lấy đối xứng qua Oy Ta có đồ thị của hàm số \(y = |x{|^3} - 3|x| + 1\)như sau: Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y=2m-1 cắt đồ thị hàm số \(y = |x{|^3} - 3|x| + 1\) tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi : \( - 1 < 2m - 1 < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 1.\) Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là: \(0 < m < 1.\)
Câu 12: Cho hàm số y=g(x) có tập xác định là \((0; + \infty )\) và có bảng biến thiên sau: Tìm số giao điểm của các đồ thị hàm số \(y = f(x) = x - \frac{1}{3} - {x^2}\) và \(y = g(x).\) A. Không có giao điểm nào B. 1 giao điểm C. 2 giao điểm D. Chưa đủ dữ liệu để xác định số giao điểm. Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = f(x) = x - \frac{1}{3} - {x^2} = - \left( {{x^2} - x + \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{{12}} = - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{{12}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}.\) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g(x) ta thấy giá trị của hàm số g(x) luôn dương với mọi giá trị của \(x \in (0; + \infty )\) (hàm số y=g(x) xác định với mọi x không âm). Vậy đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) không có điểm chung.
Câu 13: Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) có tất cả đường tiệm cận? A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{{ - 2(x - 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2(x - 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 2}}{{{x^2} + x + 1}} = - \frac{2}{3}\) nên đường thẳng x=1 không là tiệm cận đứng của đồ thị. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = 0\)nên đồ thị của hàm số đã cho có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
Câu 14: Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị của hàm số f(x) có đúng 1 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. B. Đồ thị của hàm số f(x) không có tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. C. Đồ thị của hàm số f(x) có đúng 2 tiệm cận ngang và không có tiện cận đúng. D. Đồ thị của hàm số f(x) có đúng 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,f(x) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,f(x) = 1 \Rightarrow \)đồ thị của hàm số f(x) có 2 đường tiệm cận ngang là các đường thẳng y=-1 và y=1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \,f(x) = + \infty \Rightarrow \)đồ thị của hàm số f(x) có 1 đường tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1.
Câu 15: Đồ thị hàm số \(y = {(x + 1)^2}({x^2} - 2x + 2)\) và trục hoành có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Số điểm chung của đồ thị hàm số \(y = {(x + 1)^2}({x^2} - 2x + 2)\) với trục hoành chính là số nghiệm đôi một phân biệt của phương trình: \({(x + 1)^2}({x^2} - 2x + 2) = 0\) Vì \({x^2} - 2x + 2 = {(x - 1)^2} + 1 \ge 1\) nên phương trình \({(x + 1)^2}({x^2} - 2x + 2) = 0\)có 1 nghiệm kép x=-1. Vậy có đúng 1 điểm chung.
Câu 16: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của đúng mộ trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = \frac{{ - x + 2}}{{x + 2}}\) B. \(y = \frac{{2x - 2}}{{x + 1}}.\) C. \(y = \frac{{ - 2x + 2}}{{x + 1}}.\) D. \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) . Spoiler: Xem đáp án Đồ thị như hình vẽ là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(c \ne 0\) và \(ad - bc < 0,\) do đó loại phương án \(y = \frac{{2x - 2}}{{x + 1}}\,(ad - bc = 4 > 0)\) và \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\,(ad - bc = 3 > 0).\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,y = - 2\) nên \(\frac{a}{c} = - 2\) Vậy chọn \(y = \frac{{ - 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
Câu 17: Giá trị a, b để hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x - 1}}\) có đồ thị như hình bên là: A. \(a = - 1,b = 2\) B. \(a = - 1,b = - 2\) C. \(a = 1,b = 2\) D. \(a = 1,b = - 2\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: + Đồ thị hàm số có TCĐ và TCN lần lượt là \(x = 1,y = 1 \Rightarrow a = 1.\) + Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 2;0} \right),\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow b = 2.\)
Câu 18: Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có khoảng cách đến trục hoành bằng 1. A. \(M\left( {0; - 1} \right),N\left( { - 2;1} \right)\) B. \(M\left( { - 2;1} \right)\) C. \(M\left( {0; - 1} \right),N\left( { - 1; - 1} \right)\) D. \(M\left( {0; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M thuộc đồ thị hàm số, suy ra \(M\left( {a;\frac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right),a \ne 1\) Ta có \(d\left( {M,Ox} \right) = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{2a + 1}}{{a - 1}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2a + 1}}{{a - 1}} = 1}\\{\frac{{2a + 1}}{{a - 1}} = - 1}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 2 \Rightarrow M\left( { - 2;1} \right)}\\{a = 0 \Rightarrow M\left( {0; - 1} \right)}\end{array}} \right.\)
Câu 19: Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. \(b < 0,c > 0,d < 0.\) B. \(b < 0,c < 0,d > 0.\) C. \(b > 0,c > 0,d > 0.\) D. \(b < 0,c > 0,d > 0.\) Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{cx + d}}\) có: \(TCD:x = - \frac{d}{c};\,TCN:y = \frac{1}{c};\,\,\left( C \right) \cap Ox = \left( { - b;0} \right);\,\,\left( C \right) \cap Oy = \left( {0;\frac{b}{d}} \right).\) Dựa vào đồ thị ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{c} > 0\\ - \frac{d}{c} < 0\\\frac{b}{d} < 0\end{array} \right. \Rightarrow b < 0,c > 0,d > 0.\)
Câu 20: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}{\rm{ + 1}}\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^4} - 2{x^2} + 2 - m = 0\) có 4 nghiệm phân biệt. A. \( - 2 < m < 1.\) B. \(2 < m < 3.\) C. \(0 < m < 1.\) D. \(1 < m < 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({x^4} - 2{x^2} + 2 - m = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = m - 1\) Dựa vào đồ thị: PT có 4 nghiệm khi và chỉ khi \(0 < m - 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < m < 2.\)
