Câu 201: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào trong các hàm số sau? A. \(y = \frac{{ - 1 + 2x}}{{x + 1}}.\) B. \(y = \frac{{3 + 2x}}{{1 + x}}.\) C. \(y = \frac{{ - x - 3}}{{x - 2}}.\) D. \(y = \frac{{1 - x}}{{x - 2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1, loại hai phương án C và D. Kiểm tra hàm số ở phương án A. Áp dụng \({\left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)^\prime } = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}},\) ta có: \({\left( {\frac{{ - 1 + 2x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0, \forall x \ne - 1.\). Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. \(\left( {\frac{{3 + 2x}}{{1 + x}}} \right)' = \left( {\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}} \right)' = - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne - 1.\) Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
Câu 202: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số y=f(x). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -3. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và đạt cực đại tại x=0. Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị hàm thấy: + Hàm số không có giá trị lớn nhất và trị nhỏ nhất. + Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại bằng 1; hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu bằng -3.
Câu 203: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\left| {{x^2} - 2} \right|\)tại 6 điểm phân biệt. A. 0<m<2. B. 0<m<1. C. 1<m<2. D. Không tồn tại m. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = 2{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) = 2{x^4} - 4{x^2}\) Ta có \(g'\left( x \right) = 8{x^3} - 8x = 8x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm 1 \end{array} \right.\) Ta có đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^2}\), từ đó suy ra đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\left| {{x^2} - 2} \right|\) Dựa vào đồ thị để phương trình có 6 nghiệm phân biệt khi 0<m<2.
Câu 204: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y=3x+1 và đồ thị \(y = {x^3} - 3mx + 3\) có duy nhất một điểm chung. A. \(m \in \mathbb{R}.\) B. \(m \leq 0.\) C. \(m<0.\) D. \(m \leq 3.\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3mx + 3 = 3x + 1 \Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3\left( {m + 1} \right)x \Rightarrow 3(m + 1) = {x^2} + \frac{2}{x} = f(x)\)Ta có: \(f'(x) = 2x - \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^3} - 2}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\). Bảng biến thiên: Dựa vào BBT, đường thẳng y=3x+1 và đồ thị \(y = {x^3} - 3mx + 3\) có duy nhất một điểm chung khi \(3(m + 1) < 3 \Leftrightarrow m < 0.\)
Câu 205: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại 4 điểm phân biệt. A. m<0. B. 0<m<1. C. -1<m<0. D. m>0. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = \pm 1} \end{array}} \right..\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) cắt đường thẳng y=m tại 4 điểm phân biệt khi -1<m<0.
Câu 206: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) cắt đường thẳng y=m-1 tại 3 điểm phân biệt. A. \(1 \le m < 5\). B. \(1 < m < 5\). C. \(1 < m \le 5\). D. \(0< m < 4.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) cắt đường thẳng y=m-1 tại 3 điểm phân biệt khi \(0 < m - 1 < 4 \Leftrightarrow 1 < m < 5.\)
Câu 207: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - m{x^2}\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, gốc tọa độ O và B sao cho tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau. A. \(m = \frac{{\sqrt[3]{2}}}{2}.\) B. \(m = \frac{{1}}{2}.\) C. \(m = 0.\) D. Không có giá trị m. Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - m{x^2}\) với trục hoành là: \({x^4} - m{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{x^2} = m} \end{array}} \right.\). Suy ra đồ thị hàm số \(y = {x^4} - m{x^2}\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi m>0. Khi đó A, B lần lượt có hoành độ là \(- \sqrt m ,{\rm{ }}\sqrt m .\) Ta có \(y' = 4{x^3} - 2mx\), tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau khi và chỉ khi: \(y'\left( { - \sqrt m } \right)y'\left( {\sqrt m } \right) = - 1\) \(\Leftrightarrow \left( { - 4m\sqrt m + 2m\sqrt m } \right)\left( {4m\sqrt m - 2m\sqrt m } \right) = - 1\) \(\Leftrightarrow 4{m^3} = 1 \Leftrightarrow m = \frac{{\sqrt[3]{2}}}{2}.\)
Câu 208: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đồ thị (C) nhận Oy là trục đối xứng. B. (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. C. Hàm số có 3 điểm cực trị. D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \pm \sqrt 2\). Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy C giao với Ox tại 3 điểm phân biệt nên B sai.
Câu 209: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - x}}{{2x + 1}}\) có hai đường tiệm cận là đường nào sau đây? A. \(y = - \frac{1}{2};\,x = - \frac{1}{2}\) B. \(y = \frac{3}{2};\,x = - \frac{1}{2}\) C. \(y = 3;\,x = - \frac{1}{2}\) D. \(y = - \frac{1}{2};\,x = 3\) Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \frac{1}{2}\) suy ra đồ thị có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}.\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\, - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\, - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = - \infty\) suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{1}{2}.\)
Câu 210: Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}.\) Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Hàm số xác định khi và chỉ khi \({x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 3\\ x < - 1 \end{array} \right.\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x\left( {2 - \frac{3}{x}} \right)}}{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}} }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } = - 2 \end{array} \right.\) Suy ra đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=2 và y=-2 làm tiệm cận ngang. Mặt khác: \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = - \infty .\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }} = + \infty . \end{array}\) Suy ra thị hàm số nhận đường thẳng x=-1 và x=3 làm tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận.
