Câu 211: Đường cong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hãy chọn phương án đúng. A. \(y = {x^3} + 2x - 1.\) B. \(y = {x^4} - {x^2} - 1.\) C. \(y = - {x^4} + {x^2} - 1.\) D. \(y = {x^4} + {x^2} - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm } y = + \infty \Rightarrow\) hàm số bậc bốn có hệ số a dương, loại A và C. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt. Kiểm tra số điểm cực trị của hàm số ở phương án B và D, ta thấy D là phương án đúng.
Câu 212: Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - x\) và đồ thị hàm số \(y = 5 + \frac{3}{x}\) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tính độ dài AB. A. \(AB = 8\sqrt 5 .\) B. \(AB = 25.\) C. \(AB = 4\sqrt{2}.\) D. \(AB = 10\sqrt{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là \({x^2} - x = 5 + \frac{3}{x} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ {x^3} - {x^2} - 5x - 3 = 0 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \Rightarrow y = 6\\ x = - 1 \Rightarrow y = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A(3;6)\\ B( - 1;2) \end{array} \right. \Rightarrow AB = 4\sqrt 2\)
Câu 213: Cho hàm số $y = \frac{{ax+1}}{{bx - 2}}$. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x=1 là tiệm cận đứng và $y = \frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang. A. \(a = - 1;\,b = - 2.\) B. \(a = 1;\,b = 2.\) C. \(a = -1;\,b = 2.\) D. \(a = 4;\,b = 4.\) Spoiler: Xem đáp án Điều kiện để hàm số không suy biến là \(- 2a - b \ne 0.\) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 làm TCĐ và đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) là TCN khi: \(\left\{ \begin{array}{l} a + 1 \ne 0\\ b - 2 = 0\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}} = \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2\\ a = 1 \end{array} \right..\)
Câu 214: Cho hàm số y=f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như hình vẽ: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị hàm số có 3 tiệm cận. B. Phương trình f(x)=3 có 3 nghiệm thực phân biệt thì \(m\in (1;2)\) C. Giá trị lớn nhất của hàm số là 2. D. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên, ta có các nhận xét sau: + Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;-1} \right)\) và \(\left( { -1 ;1} \right)\) + Ta thấy rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} y = \pm \infty\) đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. + Phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1<m<2. + Hàm số không có GTLN trên tập xác định.
Câu 215: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^4} - 4{x^2} + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt? A. \(m=4\) B. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left\{ 4 \right\}\) C. \(m<0\) D. \(0<m<4\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({x^4} - 4{x^2} + m = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} = - m\) Xét hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2}\) \(\begin{array}{l} y' = 4{x^3} - 8x = 4x({x^2} - 2)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \sqrt 2 \\ x = \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\) Bảng biên thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi: \(\left[ \begin{array}{l} - m = - 4\\ - m > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m < 0 \end{array} \right..\)
Câu 216: Cho hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}}\) có đồ thị là (C). Hỏi trên đồ thị (C) có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên? A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 5}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{4}{{x - 1}}.\) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) suy ra \({y_0} = - {x_0} + 1 - \frac{4}{{{x_0} - 1}}.\) Ta có \({x_0},{y_0} \in \mathbb{Z} \Rightarrow\)\(\left[ \begin{array}{l} {x_0} - 1 = \pm 1\\ {x_0} - 1 = \pm 2\\ {x_0} - 1 = \pm 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2\\ {x_0} = 0\\ {x_0} = 3\\ {x_0} = - 1\\ {x_0} = - 3\\ {x_0} = 5 \end{array} \right.\) Vậy có 6 điểm có tọa độ nguyên.
Câu 217: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. \(y = {x^3} - 3x + 3\) B. \(y = {x^4} + 2{x^2} + 3\) C. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) D. \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{1}{2}{x^2} + x + 3\) Spoiler: Xem đáp án Từ hình dạng ta suy ra đây là đồ thị của hàm số bậc ba có hai cực trị. Suy ra phương án đúng chỉ có thể là A hoặc D. Đáp án đúng là A vì hàm số \(y = {x^3} - 3x + 3\) có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right..\)
Câu 218: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}.\) TXĐ: \(D = ( - \infty ;1) \cup (1; = \infty ).\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 2\) suy ra đường thẳng y=-2 là TCN của đồ thị hàm số. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\) suy ra đường thẳng y=2 là TCN của đồ thị hàm số. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty\) suy ra đường thẳng x=1 là TCĐ của đồ thị hàm số. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = - \infty\) suy ra đường thẳng x=-1 là TCĐ của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị của hàm số đã cho có tổng cộng 4 đường tiệm cận.
Câu 219: Giả sử tồn tại hàm số $$ có bảng biến thiên như hình sau: Chọn khẳng định đúng? A. Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\) B. Hàm số có giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3.\) C. Hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=3. D. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: + Hàm số nghịch biến các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right).\) + Hàm số không có cực trị. + Hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.
Câu 220: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $$ là điểm nào trong các điểm sau? A. (1;2) B. (1;-1) C. (-1;10) D. (1;5) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = \frac{{5x + 1}}{{x - 1}}\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = + \infty\) nên đồ thị có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x + 1}}{{x - 1}} = 5\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=5. Giao của hai đường tiệm cận là I(1;5) cũng là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
