Câu 221: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số có giá trị cực đại bằng 3. B. Hàm số có GTLN bằng 1, GTNN bằng \(-\frac{1}{3}.\) C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực trị tại x=1 và x=3.
Câu 222: Tìm tất cả giá trị của m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}}\) có ba tiệm cận gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. A. \(0 < m < \frac{1}{2}\) B. \(0 < m \le \frac{1}{2}\) C. \(m \le 0\) D. \(m \geq \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = \sqrt m\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - \sqrt {m + \frac{{3m}}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{1 + \frac{2}{x}}} = - \sqrt m .\) Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang khi m>0 Khi \(x=-2\Rightarrow \sqrt {m{x^2} + 3mx + 1} = \sqrt {1 - 2m}\) Với \(m < \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} > 0\) thì đồ thị hàm số sẽ có tiệm đứng là x=-2 Với \(m = \frac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {1 - 2m} = 0\) ta phải thử với trường hợp \(m=\frac{1}{2}\) \(m = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} }}{{x + 2}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x + 2}}.\) Lúc đó ta chỉ được xét giới hạn khi \(x \to - {2^ - }\) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{1}{{\sqrt 2 }}\frac{{\sqrt {(x + 1)(x + 2)} }}{{x + 2}}\) \(= \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left( { - \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} } \right) = - \infty\) Từ đó với \(m=\frac{1}{2}\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x=-2\) Do đó đồ thị hàm số có ba tiện cận khi \(0 < m \le \frac{1}{2}\).
Câu 223: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ sau: Hỏi với giá trị thực nào của m thì đường thẳng y=2m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. A. m=2 B. 0<m<2 C. m=0 D. m<0 hoặc m>2 Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng y=2m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l} 2m < 0\\ 2m > 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < 0\\ m > 2 \end{array} \right.\)
Câu 224: Cho hàm số y=f(x) xác định, liên tục trên $$ và có bảng biến thiên sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0 và đạt cực tiểu tại điểm x=4. B. Hàm số có đúng một cực trị. C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng -15. Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta nhận thấy có hai giá trị của x mà qua đó y’ đổi dấu từ ‘’ -’’ sang ‘’+’’ hoặc từ ‘’+’’ sang ‘’ -’’ cho nên hàm số có hai cực trị nên B sai. Lại có qua thì y’ đổi dấu từ ‘’ -’’ sang ‘’+’’ và qua x=4 thì y' đổi dấu từ ‘’+’’ sang ‘’ -’’ cho nên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 và đạt cực đại tại x=4 nên A sai và C đúng. Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = - \infty\) cho nên hàm số không có giá trị lớn nhất và cũng không có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định nên D sai.
Câu 225: Đồ thị hàm số $$ có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = f(x) = \frac{{3x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right)}}\). \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty ;{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {6^ - }} f(x) = - \infty \Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là các đường thẳng x=1 và x=6. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{7}{x} + \frac{6}{{{x^2}}}}} = 0 \Rightarrow\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 7x + 6}}\) có ba tiệm cận.
Câu 226: Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d , (a\neq 0)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây về dấu của a,b,c,d là đúng nhất ? A. \(a,d > 0\) B. \(a > 0,c > 0 > b\) C. \(a,b,c,d > 0\) D. \(a,d > 0,c < 0\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \Rightarrow a > 0.\) Lại có tại \(y(0) = d > 0\). Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị \(x_1,x_2\) trái dấu nhau. Ta có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) và \(x_1,x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình y'=0 \(\Rightarrow {x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0 \Rightarrow\) loại B và C. Tổng hợp lại ta cần có \(a,d > 0,c < 0\)
Câu 227: Cho hàm số \(y = 3\ln ({x^2} + x + 1)\) có đồ thị (C). Tìm số giao điểm của (C) với trục hoành. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với Ox là: \(2\ln ({x^2} + x + 1) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Vậy (C) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Câu 228: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) với đường thẳng y = 3x - 6. A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thằng (d) là: \(\frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}} = 3x - 6\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ {x^2} - 2x + 3 = (x - 1)(3x - 6) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x + 3 = 3{x^2} - 9x + 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ 2{x^2} - 7x + 3 = 0 \end{array} \right.(*)\) Hệ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên (C) cắt (d) tại hai điểm.
Câu 229: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x}\) có bao nhiêu tiệm cận? A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1 \end{array} \right. \Rightarrow\) đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang. Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \infty \Rightarrow x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 230: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng $(2; \infty )$ và thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x) = 1$ Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). B. Đường thẳng y =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). C. Đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x). D. Đường thẳng x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
