Câu 231: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) và đường thẳng \(y = - 2x + m.\) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B và trung điểm của AB có hoành độ bằng \(\frac{5}{2}\). A. 8 B. 11 C. 9 D. 10 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} = m - 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ 2{x^2} - (m + 1)x + m + 1 = 0(*) \end{array} \right.\) Để (C) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm khác 1 . Điều này xảy ra khi: \({(m + 1)^2} - 8(m + 1) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 7\\ m < - 1 \end{array} \right.\) Khi đó gọi \({x_A},{x_B}\) là hoành độ của hai giao điểm A, B suy ra \({x_A} + {x_B} = 5 = \frac{{m + 1}}{2} \Rightarrow m = 9.\) Câu 232: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số \(y = |{x^4} - 2{x^2} - 2|\) tại 6 điểm phân biệt. A. \(2 < m < 3\) B. \(2 < m < 4\) C. m = 3 D. \(0 < m < 3\) Spoiler: Xem đáp án Vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = |{x^4} - 2{x^2} - 2|\) Phần 1. Giữ nguyên đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 2\) phía trên trục hoành Phần 2. Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 2\) phía dưới trục hoành qua trục hoành. Dựa vào đồ thị hàm số (hình vẽ bên) để đường thằng y = m cắt đồ thị (C) tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 < m < 3.
Câu 233: Cho hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a < 0,b < 0,c < 0,d < 0\) B. \(a > 0,b > 0,c > 0,d < 0\) C. \(a > 0,b < 0,c < 0,d > 0\) D. \(a > 0,b < 0,c > 0,d < 0\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau: + Ta thấy rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \Rightarrow\) hệ số a > 0. + Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm \(A(x_{A};0)\) với \({x_A} > 0\) chính là điểm uốn của đồ thị hàm số. + Do đó \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow y'' = 6ax + 2b \Rightarrow y''({x_A}) = 0 \Leftrightarrow b = - 3a.{x_A} < 0.\) + Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm \(B(0;{y_B})\) với \({y_B} < 0 \Rightarrow {y_B} = d < 0.\) + Hàm số đã cho đồng biến trên \(\Rightarrow y' \ge 0;\forall x \in \Rightarrow {b^2} - 4ac < 0\) mà \(a > 0 \Rightarrow c > 0.\)
Câu 234: Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}.\) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận. A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) C. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) D. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Với m=0 thì hàm số trở thành \(y = \frac{{x - 1}}{{ - 2x + 3}}.\) Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Với \(m\neq 0\) đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\) luôn nhận đường thẳng y=0 làm tiệm cận ngang. Vậy để có ba tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai tiệm cận đứng hay phương trình \(m{x^2} - 2x + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = 4 - 12m > 0\\ m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < \frac{1}{3}\\ m \ne 1 \end{array} \right.\) Vậy \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 235: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - mx + m}}\) có đúng một tiệm cận đứng. A. \(m=0\) B. \(m\leq 0\) C. \(m \in \left\{ {0;4} \right\}\) D. \(m \ge 4\) Spoiler: Xem đáp án Để hàm số có đúng một tiệm cận đứng thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} x - 1 \ne 0\\ {x^2} - mx + m = 0 \end{array} \right.\) phải có có duy nhất một nghiệm. Hay phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) có nghiệm kép khác 1 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. Ta có: x=1 không là nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + m = 0.\) Suy ra phương trình \({x^2} - mx + m = 0\) phải có nghiệm kép điều này xảy ra khi: \(\Delta = {m^2} - 4m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 4 \end{array} \right.\)
Câu 236: Tìm giá trị của tham số m để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} + 2 + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt. A. \(m \in \left( {0;1} \right)\) B. \(m \in \left( { - 1;0} \right)\) C. \(m \in \left( {0;2} \right)\) D. \(m \in \left( { - 2; - 1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(2{x^3} - 3{x^2} + 2 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 2{x^3} + 3{x^2} - 2\) Xét hàm số \(f(x) = - 2{x^3} + 3{x^2} - 2\) Ta có \(f'(x) = - 6{x^2} + 6x;\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow y = - 2}\\ {x = 1 \Rightarrow y = - 1} \end{array}} \right.\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì \(- 2 < m < - 1.\)
Câu 237: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 1\) B. \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) C. \(y = - 2{x^3} - 3{x^2} - 1\) D. \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} - 1\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \Rightarrow a > 0.\) Loại C và D Mặc khác: \(f\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow\) Loại A Vậy B là phương án đúng.
Câu 238: Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1? A. \(y = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)\) B. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) C. \(y = {x^4} - 3{x^2} - 4\) D. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên đi qua điểm (0;1)
Câu 239: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận? A. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) B. \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) C. \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}\) D. \(y = \frac{1}{x}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = x - 1\) nên đồ thị hàm số không có đường tiệm cận.
Câu 240: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + 1}}.\) A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng B. Đường thẳng x=1 C. Đường thẳng x= 0 D. Dường thẳng x=-1 Spoiler: Xem đáp án \( y = \frac{{1 - \sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{{x^3} + 1}} = \frac{{\left( {1 - {x^2} - x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}} \) \(= \frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}} = \frac{{ - x}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right)}}.\) Ta có: \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) > 0,\,\,\forall x\) Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 241: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}.\) A. \(y = 1\) B. \(x=\pm 1\) C. \(x=- 1\) D. \(x=1\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(y = \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=-1 làm tiệm cận đứng.
