Câu 242: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) tại ba điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm phân biệt có hoành độ dương. A. -1<m<3. B. 1<m<3. C. -1<m<1. D. m=1. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right. \end{array}\) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) tại 3 điểm phân biệt khi -1 Mặt khác: đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) cắt trục tung tại điểm (0;1). (2) (1) (2) Đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) tại 3 điểm trong đó có hai điểm có hoành độ dương khi -1<m<1.
Câu 243: Đồ thị hàm số \(y= \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{{2017}}{x}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 2017}}{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{{2017}}{x}}}{{ - \sqrt {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1\) Suy ra đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang là \(y = 1;y = - 1\) và không có tiệm cận đứng vì \({x^2} + x + 1 > 0,\forall x.\)
Câu 244: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau? A. \(y = {x^3} - 3x + 4.\) B. \(y = {x^3} - 3x^2\) C. \(y = {x^3} - 3x^2 + 4.\) D. \(y = {x^3} - 3x\) Spoiler: Xem đáp án +) Giao điểm của đồ thị hàm số với Oy là (0;4): \(x = 0 \Rightarrow y = 4.\) Loại đáp án B và D, còn đáp án A và C. +) Bấm máy tính tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm thấy đáp án C thỏa mãn vì có 2 nghiệm là -1 và 2.
Câu 245: Hỏi a và b thỏa mãn điều kiện nào để hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị dạng như hình bên? A. a>0 và b>0. B. a<0 và b<0. C. a<0 và b>0. D. a<0 và b<0. Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số: \(y = a{x^4} + b{x^2} + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\) \(\begin{array}{l} y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x(a{x^2} + b)\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{a} \end{array} \right.. \end{array}\) Dựa vào hình dạng của đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại suy ra hệ số a>0 và đồ thị có ba cực trị nên a và b trái dấu. Vậy a>0 và b<0.
Câu 246: Tìm số giao điểm của đường cong \(y = {x^3} - 3{x^2} + x - 1\) và đường thẳng \(y = 1 - 2x.\) A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ \({x^3} - 3{x^2} + x - 1 = 1 - 2x \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) Vậy số giao điểm là 1.
Câu 247: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m - 4\) đi qua điểm N(-2;0). A. \(m=-\frac{6}{5}.\) B. m=1. C. m=2 D. m=-1. Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số đi qua điểm \(N\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow 0 = {\left( { - 2} \right)^4} - 2m{\left( { - 2} \right)^2} + 2m - 4 \Leftrightarrow m = 2.\)
Câu 248: Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân. B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 4. C. Tổng các giá trị cực trị của hàm số bằng 7. D. Đồ thị (C) không có điểm cực đại nhưng có hai điểm cực tiểu là (-1;3) và (1;3). Spoiler: Xem đáp án Quan sát đồ thị ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty\) nên ta loại đáp án B. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị \(A\left( {0;4} \right),B\left( {1;3} \right),C\left( { - 1;3} \right)\) trong đó có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu nên ta loại câu C, D. Ta thấy AB=AC nên ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh một tam giác cân.
Câu 249: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{2x - 1}}?\) A. \(y = 1.\) B. \(y = \frac{3}{2}.\) C. \(y = \frac{1}{2}.\) D. \(y = \frac{1}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 250: Cho hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a > 0,b < 0,c > 0\) B. \(a < 0,b > 0,c < 0\) C. \(a < 0,b < 0,c < 0\) D. \(a > 0,b < 0,c < 0\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị hàm số ta thấy: \(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \infty\) nên hệ số a âm. Loại A và D. \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)\) \(y' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2a{x^2} + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = - \frac{b}{{2a}} \end{array} \right.\) Với a<0, nếu b<0 thì phương trình \({x^2} = - \frac{b}{{2a}}\) vô nghiệm nên hàm số chỉ có một điểm cực trị tại x=0. Loại C. Với a<0 nếu b>0 thì phương trình \({x^2} = - \frac{b}{{2a}}\) có hai nghiệm nên hàm số có ba điểm cực trị. Vậy D là phương án đúng.
Câu 251: Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\) có đồ thị (C). Tính khoảng cách d từ điểm A(0;5) đến tiệm cận ngang của đồ thị (C). A. d=3 B. d=0 C. d=5 D. d=2 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 3}}\)có tiệm cận ngang y=2. Khoảng cách từ A(0;5) đến đường thẳng y=2 là: \(d=\left| {5{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
