Câu 252: Biết đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3\) có bảng biến thiên như sau: Tìm m để phương trình \(\left| {{x^4} - 4{x^2} + 31} \right| = m\) có đúng 4 nghiệm phân biệt. A. \(1 < m < 3\) B. \(m>3\) C. \(m=0\) D. \(m \in \left( {1;3} \right) \cup \left\{ 0 \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta suy ra được hình dạng đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3.\) Từ đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 3.\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 31} \right|\) bằng cách: + Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng phần đồ thị bên dưới trục hoành qua trục hoành, và xóa bỏ phần đồ thị bên dưới trục hoành đi ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 31} \right|\) như hình vẽ sau: Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình \(\left| {{x^4} - 4{x^2} + 31} \right|=m\) có 4 nghiệm phân biệt thì \(m \in \left( {1;3} \right) \cup \left\{ 0 \right\}\)
Câu 253: Biết rằng đồ thị $y = {x^3} 3{x^2}$ có dạng như sau: Hỏi đồ thị hàm số $y = \left| {{x^3} 3{x^2}} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta tìm đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3{x^2}} \right|\) từ đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số phía trên trục hoành. + Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số phía dưới trục hoành và xóa phần đồ thị bên dưới trục hoành đi. Khi đó ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3{x^2}} \right|\) như hình bê. Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3{x^2}} \right|\) có ba điểm cực trị.
Câu 254: Đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) có bao nhiêu tiệm cận ngang? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = 1\) Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Câu 255: Đồ thị hàm số $y = {x^3}+1$ và đồ thị hàm số \(y = {x^2} + x\) có tất cả bao nhiêu điểm chung? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 1\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} + x\) là: \({x^3} + 1 = {x^2} + x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 1 \end{array} \right.\) Vậy đồ thị hai hàm số có hai điểm chung.
Câu 256: Tìm m để đồ thị hàm số \(y=\frac{{mx - 1}}{{x - m}}\) có tiệm cận đứng. A. \(m \notin \left\{ { - 1;1} \right\}\) B. \(m\neq 1\) C. \(m\neq -1\) D. Không có m Spoiler: Xem đáp án Xét mẫu \(x - m = 0\) khi x=m Để đường thẳng x=m là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì m không là nghiệm của tử tức là \(m.m - 1 \ne 0\) nên \(m\neq 1\) và \(m\neq -1\)
Câu 257: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f'(x)$ cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. \(f\left( c \right) > f\left( a \right) > f\left( b \right)\) B. \(f\left( c \right) > f\left( b \right) > f\left( a \right)\) C. \(f\left( a \right) > f\left( b \right) > f\left( c \right)\) D. \(f\left( b \right) > f\left( a \right) > f\left( c \right)\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy \(f'(x)\) có ba nghiệm a, b, c với a<0, 0 \(a = - \frac{2}{3},b = \frac{1}{2},c = \frac{5}{2} \Rightarrow \left( {3x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\) Đặt hàm số \(f'\left( x \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = - 12{x^3} + 28{x^2} + 9x - 10\) (vì dựa vào đồ thị thấy rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f'\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim f'}\limits_{x \to + \infty } \left( x \right) = + \infty\) thì hệ số của nhỏ hơn 0). Khi đó: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( { - 12{x^3} + 28{x^2} + 9x - 10} \right)dx = - 3{x^4} + \frac{{28}}{3}{x^3} + \frac{9}{2}{x^2} - 10x + C} }\) Tính giá trị \(f\left( { - \frac{2}{3}} \right);f\left( {\frac{1}{2}} \right);f\left( {\frac{5}{2}} \right)\), ta được \(f\left( {\frac{5}{2}} \right) > f\left( { - \frac{2}{3}} \right) > f\left( {\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow f\left( a \right) > f\left( b \right).\)
Câu 258: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}{{\sqrt {2x + 1} - x}}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {3{x^2} + 2} \ne 0\\ \sqrt {2x + 1} - x = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2\) hệ phương trình có một nghiệm nên đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng. Do điều kiện xác định là \(x \ge - \frac{1}{2}\) nên ta xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}{{\sqrt {2x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {3 + \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x\left( {\sqrt {\frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 1} \right)}} = - 1\) \(\Rightarrow y = - 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Câu 259: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê bên dưới. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = {x^4} + 2x + 1\) B. \(y = - {x^4} + 1\) C. \(y = {x^4} + 1\) D. \(y = - {x^4} + 2x + 1\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \Rightarrow\) Hệ số a<0 và đồ thị hàm số có ba điểm cực trị nên hàm số cần tìm \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)
Câu 260: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ. Tìm m để phương trình $f\left( x \right)+ m = 0$ có nhiều nghiệm thực nhất. A. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {15; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( { - \infty ;15} \right] \cup \left( {1; + \infty } \right)\) C. \( m \in \left( { - \infty ;-1} \right) \cup \left( {15; + \infty } \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - 15} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\) Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình \(f\left( x \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - m\left( * \right)\) . Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng y=m Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (*) có nhiều nhất hai nghiệm thực khi: \(\left[ \begin{array}{l} - m > 1\\ - m < - 15 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 1\\ m > 15 \end{array} \right.\)
Câu 261: Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - mx + 1} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. A. \(m \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( {2\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) B. \(m \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( {2\sqrt 2 ; + \infty } \right) \backslash \left\{ { - 3} \right\}\) C. \(m \in \left( { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right)\) D. \(m \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 2 ; + \infty } \right) \backslash \left\{ { - 3} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - mx + 1} \right)\) và trục hoành là: \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {2{x^2} - mx + 1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ 2{x^2} - mx + 1 = 0\,(*) \end{array} \right.\) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số và trục hoành có 3 điểm phân biệt có 3 nghiệm phân biệt hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1. Điều này xả ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0\\ 2.{\left( { - 1} \right)^2} - m\left( { - 1} \right) + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} - 8 > 0\\ m \ne - 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( {2\sqrt 2 ; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 3} \right\}.\)
