Câu 262: Hình vẽ bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. ad > 0, ab < 0 B. bd < 0, ab > 0 C. ab < 0, ad < 0 D. bd > 0, ad > 0 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào độ thị hàm số ta suy ra được vị trị của các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung và trục hoành, ta suy ra được: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{d}{c} < 0\\ \frac{a}{c} > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\ \frac{b}{d} < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} cd > 0\\ ac > 0\\ ab > 0\\ bd < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a{b^2}d > 0\\ ab < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ad > 0\\ ab < 0 \end{array} \right.\)
Câu 263: Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + {x^2} - 2x + 3.\) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số \(y=f(x-2017)\) không có cực trị B. Hai phương trình \(f(x)=2017\) và \(f(x-1)=2017\) có cùng số nghiệm C. Hai phương trình \(f(x)=m\) và \(f(x-1)=m-1\) có cùng số nghiệm với mọi m D. Hai phương trình \(f(x)=m\) và \(f(x-1)=m+1\) có cùng số nghiệm với mọi m Spoiler: Xem đáp án B đúng vì hàm số y = f(x-1) là ảnh của hàm số qua phép tịnh tiến sang phải 1 đơn vị nên số giao điểm của đồ thị hai hàm số với đường nằm ngang y = 2017 là như nhau. A sai vì tương tự như trên hàm số y = f(x – 2017) là ảnh của hàm số y = f(x) qua phép tịnh tiến sang phải 2017 đơn vị nên số điểm cực trị của hàm số y = f(x – 2017) cũng bằng với số điểm cực trị hàm số y = f(x) Xét hàm số \(y = f(x) = {x^3} + {x^2} - 2x + 3\) \(f'(x) = 3{x^2} + 2x - 2\) có \(\Delta >0\) nên luôn có hai điểm cực trị. C và D sai. Tương tự trên hàm số y = f(x-1) là ảnh của phép tịnh tiến hàm y = f(x) sang phải một đơn vị nên giao điểm với đường thẳng y = k với k bất kì là như nhau. Mà số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m và y = m - 1 có thể khác nhau.
Câu 264: Tìm các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số \(y = ax + \sqrt {4{x^2} + 1}\) có tiệm cận ngang. A. \(a=-2\) hoặc \(a=\frac{1}{2}\) B. \(a=\pm \frac{1}{2}\) C. \(a=\pm 2\) D. \(a=\pm 1\) Spoiler: Xem đáp án Yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm a để: \(\left[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(1)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {ax + \sqrt {4{x^2} + 1} } \right) = c\,\,(2) \end{array} \right.\) với c là hằng số. Giải sử 1 đúng thì ta suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ax + \sqrt {4{x^2} + 1} }}{x}} \right) = 0\,\,(3)\) Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ax}}{x} = a;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} }}{x} = 2\) Vậy VT(3) bằng a+2 suy ra a=-2. Tương tự (2) đúng suy ra a=2. Thử lại với \(a=\pm 2\) đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
Câu 265: Cho đồ thị (C) có phương trình \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}.\) Biết rằng đồ thị hàm số y=f(x) đối xứng với (C) qua trục tung. Khi đó f(x) là hàm số nào sau đây? A. \(f(x) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) B. \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) C. \(f(x) = - \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) D. \(f(x) = - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M(x,f(x))\) thuộc đồ thị (C). Khi đó: \(M'(-x,f(x))\) thuộc (C’) đối xứng với (C) qua trục tung. \(\Rightarrow y = f( - x) = - \frac{{2 - x}}{{x + 1}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là đồ thị hàm số đối xứng với (C) qua trục tung.
Câu 266: Hình vẽ bên là đồ thị của một hàm trùng phương y=f(x). Tìm giá trị của m để phương trình |f(x)|=m có 4 nghiệm đôi một khác nhau. A. -3<m<1 B. m=0 hoặc m=3 C. m=0 D. 1<m<3 Spoiler: Xem đáp án Xác định đồ thị hàm số y = |f(x)| từ đồ thị hàm số y = f(x) ta làm như sau: + Giữ nguyên phần đồ thì hàm số y = f(x) phía trên trục Ox. + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = f(x) phía dưới trục Ox qua trục Ox và xóa phần đồ thị hàm số y = f(x) phía dưới trục Ox ta được đồ thị hàm số y = |f(x)| như hình trên. Dựa vào đồ thị hàm số y = |f(x)| ta thấy phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi m=0 hoặc m=3.
Câu 267: Cho hàm số y= f(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Đồ thị của hàm số y = f(x) không có tiệm cận ngang B. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận đứng là đường thẳng y = 0 C. Đồ thị của hàm số y = f(x) nằm phía trên trục hoành D. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiệm cận ngang là trục hoành Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) vậy đường thẳng y=0 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 268: Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{{\rm{x}}^2} + {m^2} - 1\) có đồ thị (C) và đường thẳng y = x - 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (C) và đường thẳng d có giao điểm nằm trên trục hoành. A. \(m=2\) B. \(m\geq 2\) C. \(m =0\) D. \(m \in \left \{ 0;2 \right \}\) Spoiler: Xem đáp án Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 1\) và đường thẳng y=x-1 là nghiệm của phương trình: \({x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 1 = x - 1 \Leftrightarrow {x^4} - 2m{x^2} - x + {m^2} = 0\,\,\,\left( * \right)\)Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Suy ra để d và (C) có giao điểm nằm trên trục hoành thì 1 phải là nghiệm của (*). Thay x=1 vào phương trình (*), giải ra tìm m, ta được m=0 và m=2.
Câu 269: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2}+2x+3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2}+2} }}$. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} }}\) có tập xác định: \(D = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - 1\) suy ra \(y=-1,y=1\) là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\sqrt 2 }^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\sqrt 2 }^ + }} y = + \infty\) suy ra đồ thị hàm số bốn đường tiệm cận đứng.
Câu 270: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left |f(x) \right |=m\) có 4 nghiệm phân biệt. A. 0 < m < 2 B. 0 < m < 4 C. 1 < m < 4 D. Không có giá trị nào của m Spoiler: Xem đáp án Cho hàm số \(\left |f(x) \right |\) có đồ thị hàm số đường cong trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\left | f(x) \right |\) và đường thẳng y= m Ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = m bằng 4 khi 0 < m < 4.
Câu 271: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) B. \(y = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 1\) C. \(y = - {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) D. \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Cả 4 đáp án là các hàm số bậc 3. Khi \(x\rightarrow +\infty\) thì \(y\rightarrow +\infty \Rightarrow\) Hệ số của là dương ⇒ Loại C. Đồ thị đi qua các điểm \((0;1);(2;-3)\) Thay tọa độ các điểm nào vào các hàm số ở các phương án A, B, D. Ta thấy B là phương án đúng.
