Câu 272: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai về hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\). A. Hàm số đồng biến trên \((1;+\infty )\) B. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\) C. Hàm số không có cực trị D. Hàm số đồng biến trên \((-\infty ;-1)\) Spoiler: Xem đáp án Vì hàm phân thức \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) không có cực trị ⇒ Loại C Ta có \(y' = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1\) Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) ⇒ Loại A, D B sai vì hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\). Thật vậy: Với \({x_1} = - 2 \Rightarrow y( - 2) = 5\) Với \({x_2} = 1 \Rightarrow y(1) = \frac{1}{2}\) Ta thấy tồn tại \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R} \backslash \left\{ { - 1} \right\}:{x_1}<{x_2}\) mà \(y({x_1})> y({x_2})\) Nên hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}\setminus \left \{ -1 \right \}\)
Câu 273: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}.\) A. x = 1 B. y =1 C. x = -1 D. y = -1 Spoiler: Xem đáp án Hàm bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có tiệm cận ngang là đường thẳng Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\) là đường thẳng \(y=1.\)
Câu 274: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + 9x - 3 - m = 0\) có ba nghiệm thực phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 2. A. m > 0 B. -1<m<1 C. -3<m<-1 D. -3<m<1 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 3\) trên \(D=\mathbb{R}\) ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 3 \end{array} \right.\) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm lớn hơn 2 khi và chi khi y = m cắt đồ thị hàm số y =f(x) tại ba điểm phân biệt và hai điểm có hoành độ lớn hơn khi: \(f\left( 2 \right) > m > f\left( 3 \right) \Leftrightarrow - 1 > m > - 3 \Leftrightarrow - 3 < m < - 1.\)
Câu 275: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang? A. \(m \in \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\) B. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\) C. \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\) D. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy đồ thị hàm số luôn nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang với mọi giá trị của m. Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) có một tiệm cận đứng thì phương trình: \({x^2} - 3x + {m^2} = 0(*)\) có duy nhất nghiệm khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2. + TH1: \(\Delta = 9 - 4m,\) Để (*) có duy nhất nghiệm thì: \(9 - 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm \frac{3}{2}.\) Khi đó phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{3}{2} \ne 2.\) + TH2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2. \(\left\{ \begin{array}{l} 9 - 4{m^2} > 0\\ 4 - 6 + {m^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}\\ m = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\) Vậy tập hớp các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
Câu 276: Cho hàm số y = f (x) có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left| {f\left( x \right)} \right| = m$ có 6 nghiệm thực phân biệt. A. 0<m<4 B. 0<m<3 C. 3 D. m>4 Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị bài ra, ta thấy \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3\) (C). Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right),f\left( x \right) \ge 0}\\ { - f\left( x \right),f\left( x \right) < 0} \end{array}} \right.\). Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) gồm hai phần: Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành của (C). Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới Ox qua Ox. Ta được đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như hình vẽ bên. Khi đó, dựa vào đồ thị, để phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi \(3 < m < 4\).
Câu 277: Cho hàm số $y = x+\sqrt {{x^2}+ x +1}$ có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là đúng. A. Đồ thị (C) có một tiệm đứng. B. Đồ thị (C) có một tiệm cận ngang. C. Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. D. Đồ thị (C) không có đường tiệm cận. Spoiler: Xem đáp án Ta có hàm số xác định và liên tục trên nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = - \infty \end{array}\) Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
Câu 278: Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) với đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đồ thị (C) cắt đường thẳng d: y = 2 tại điểm \(M\left( {\frac{3}{4};2} \right)\) B. Đồ thị (C) có tâm đối xứng là I(1;2) C. Đồ thị (C) không có điểm cực trị D. Đồ thị (C) đi qua điểm M(2;5) Spoiler: Xem đáp án Do y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nên (C) không cắt đường thẳng y = 2.
Câu 279: Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 3{{\rm{x}}^2} + 4\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) có tất cả bao nhiêu điểm chung ? A. 0 B. 4 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} - 3{x^2} + 4 = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1\\ {x^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pm 1\\ x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)
Câu 280: Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}}\)? A. x = 3 B. y = -2 C. y = 3 D. x = -2 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 1}}{{x + 2}}.\) TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \frac{{3x + 1}}{{x + 2}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{3x + 1}}{{x + 2}} = + \infty\) Vậy: tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x=-2.
Câu 281: Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^3}+b{x^2} +cx +1$ có đồ thị (C). Hình bên là một phần của đồ thị hàm số $g\left( x \right) = f'\left( x \right)$ trong đó $a, b, c$ là các hằng số thực. Có bao nhiêu biểu thức nhận giá trị dương trong các biểu thức sau $ab,ac,3a +3b+ c$ và $a - b +c.$ A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(g\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) có đồ thị (C). Ta có ngay \(g\left( 0 \right) > 0 \Rightarrow c > 0\) Cho (C) giao với trục hoành ta được \(3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có 2 nghiệm dương phân biệt. \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta ' = {b^2} - 3ac > 0\\ {x_1} + {x_2} = - \frac{{2b}}{{3a}} > 0\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow a > 0,b < 0\) vì \(c > 0 \Rightarrow ac > 0,a - b + c > 0\)
