Câu 302: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} - 8 + 4a - 2b + c > 0\\ 8 + 4a + 2b + c < 0 \end{array} \right.\) Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) và trục Ox. A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Ta thấy: \(- 8 + 4a - 2b + c = y\left( { - 2} \right) > 0\) và \(8 + 4a + 2b + c = y\left( 2 \right) < 0.\) Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\) Nên phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right);\left( { - 2;2} \right);\left( {2; + \infty } \right).\) Nên đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
Câu 303: Hàm số nào trong các hàm số dưới đây có đồ thị phù hợp với hình vẽ bên? A. \(y = {x^3}\) B. \(y = {x^4}\) C. \(y = \sqrt x\) D. \(y = {x^\frac{1}{5}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta chọn A vì đây là dạng đồ thị hàm số bậc ba không có điểm cực trị, mà ở đây có duy nhất phương án A thỏa mãn.
Câu 304: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số \(y = \frac{{\left( {2m + 1} \right)x + 3}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận đi qua điểm A(-2;7). A. m=-3 B. m=-1 C. m=3 D. m=1 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số đã cho là đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên sẽ có hai tiệm cận, ta đã xác định được tiệm cận đứng nếu có là đường thẳng là \(x=-1,\) mà đường tiệm cận đứng không đi qua điểm \(A(-2;7)\) Do đó ta đi xét luôn đến tiệm cận ngang là \(y=2m+1\) Để đường TCN của đồ thị hàm số đi qua \(A(-2;7)\) thì \(2m + 1 = 7 \Leftrightarrow m = 3.\)
Câu 305: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2x - 1}}\) có đồ thị (C). Khẳng định sau đây là khẳng định sai? A. Đồ thị hàm số không có cực trị. B. Đồ thị hàm số nhận điểm \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng. C. Đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (0;-1). D. Giao điểm của (C) với trục tung, trục hoành và gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng \(\frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1;0) nên khẳng định C sai.
Câu 306: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang? A. \(y = x + \sqrt {{x^2} - 1}\) B. \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) C. \(y = \frac{x+2}{x-1}\) D. \(y=\frac{x+2}{x^2-1}\) Spoiler: Xem đáp án Lần lượt kiểm tra các phương án ta thấy ở phương án B: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2}}}{{x - 1}}} \right) = - \infty\) Vậy hàm số ở phương án B không có tiệm cận ngang.
Câu 307: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 1}}\) có mấy tiệm cận? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{{x - 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{{x - 1}} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{{x - 1}} = - 1 \end{array}\) Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang.
Câu 308: Trên đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có bao nhiêu điểm cách đều hai đường tiệm cận của nó. A. 0 B. 4 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M\left( {m;\frac{{m + 1}}{{m - 2}}} \right) \in \left( C \right)\left( {m \ne 2} \right)\). Khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận và lần lượt là: \({d_1} = \left| {m - 2} \right|;{d_2} = \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 2}} - 1} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}\) 2 khoảng cách này bằng nhau khi: \(\left| {m - 2} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} \Rightarrow \left| {m - 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3\) Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là \({M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\)
Câu 309: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Đặt: \(y = \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) Ta thấy phương trình: \(g(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt là 2, -1 đồng thời không là nghiệm của phương trình 2x+1=0. Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng. \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{4}{{{x^2}}}} }} = - 2 \end{array}\) Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
Câu 310: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(- {x^3} + 3{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm thực phân biệt. A. -4<m<0 B. m<0 C. m>4 D. 0<m<4 Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + m\) Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = 2\) \(\Rightarrow A\left( {0,m} \right);B\left( {2,m + 4} \right)\) Do hệ số của \(x^3\) âm nên A là điểm cực tiểu và B là điểm cực đại. Do phương trình \(- {x^3} + 3{x^2} + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt nên A, B phải nằm về 2 phía của trục hoành nên \(m < 0 < m + 4.\) \(\Rightarrow - 4 < m < 0.\)
Câu 311: Cho hàm số $y = \frac{{x+1}}{{x - 1}}$ có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất d là tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C). A. \(d=2\sqrt2\) B. \(d=2\) C. \(d=3\) D. \(d=2\sqrt3\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(M\left( {m;\frac{{m + 1}}{{m - 1}}} \right) \in \left( C \right)\left( {m \ne 1} \right)\). Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x=1 và y=1 là: \(\begin{array}{l} S = \left| {m - 1} \right| + \left| {\frac{{m + 1}}{{m - 1}} - 1} \right|\\ = \left| {m - 1} \right| + \frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m - 1} \right|.\frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}}} = 2\sqrt 2 \end{array}\) Dấu “=” xảy ra khi: \(\left| {m - 1} \right| = \frac{2}{{\left| {m - 1} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 1 \pm \sqrt 2\)
