Câu 312: Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{2x+1}}.$ Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. (C) có các tiệm cận là các đường thẳng có phương trình là \(x = - \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}\) B. Đồ thị hàm số có tâm đối xứng \(I\left ( -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right ).\) C. Đồ thị (C) có hai điểm cực trị. D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\) Spoiler: Xem đáp án + (C) có các tiệm cận là các đường thẳng có phương trình là \(x = - \frac{1}{2},y = \frac{1}{2}\), tâm đối xứng của (C) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Suy ra: A và B đúng. + \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{5}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - \frac{1}{2} \Rightarrow\)Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {-\infty; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\) => Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { 0; + \infty } \right)\) nên D đúng. + Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,(c \ne 0;ad - bc \ne 0)\) không có cực trị nên C sai.
Câu 313: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 4\) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số \(y=f(x)\) là hàm số nào trong bốn hàm số sau? A. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) B. \(y = {x^3}+ 3{x^2} + 2\) C. \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 4\) D. \(y = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 4\) Spoiler: Xem đáp án Vì đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + 4\) đi qua các điểm \(\left( {0;4} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( { - 2;2} \right)\) nên ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} {0^3} + {6.0^2} + 9.0 + 4 = 0\\ {\left( { - 1} \right)^3} + a{\left( { - 1} \right)^2} + b\left( { - 1} \right) + 4 = 0\\ {\left( { - 2} \right)^2} + a{\left( { - 2} \right)^2} + b\left( { - 2} \right) + 4 = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = - 3\\ 4a - 2b = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 6\\ b = 9 \end{array} \right.\) Vậy \(y = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 5.\)
Câu 314: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 1}}{{bx - 2}}.\) Xác định a và b để đồ thị hàm số nhận đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng và đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang. A. \(a = 2;b = - 2\) B. \(a = -1;b = - 2\) C. \(a = 2;b = 2\) D. \(a = 1;b = 2\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,(c \ne 0;ad - bc \ne 0)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = {x_0}\) với \(x_0\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} c{x_0} + d = 0\\ a{x_0} + b \ne 0 \end{array} \right..\) Tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}.\) Suy ra: Tiệm cận đứng \(x = \frac{2}{b} = 1 \Rightarrow b = 2.\) Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{b} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 1.\) Thử lại với a=1, b=2 đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x=1, tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{1}{2}.\)
Câu 315: Cho hàm số $y = a{x^3}+b{x^2}+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(a < 0,b > 0,c > 0,d < 0\) B. \(a < 0,b < 0,c > 0,d < 0\) C. \(a > 0,b < 0,c < 0,d > 0\) D. \(a < 0,b > 0,c < 0,d < 0\) Spoiler: Xem đáp án Do khi x đến dương vô cùng thì y đến âm vô cùng nên a âm . Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ âm nên d âm \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\) Từ đồ thị hàm số suy ra 2 điểm cực trị của hàm số có một điểm âm và một điểm dương trong đó điểm dương xa O hơn điểm âm tức là có trị tuyệt đối lớn hơn. Gọi hoành độ 2 điểm này là \({x_1},{x_2}\). Ta có \({x_1}.{x_1} < 0\) và \({x_1} + {x_2} > 0\). Theo định lý Viet: \({x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}}\) và \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}}\) lại có a âm nên c>0, b>0.
Câu 316: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}}.\) A. x=-3 và x=-2 B. x=-3 C. x=3 và x=2 D. x=3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 3 \end{array} \right.\) \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \frac{{10}}{{5 + \sqrt {15} }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} = + \infty \end{array}\) \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2x - 1 - \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} - 5x + 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4{x^2} - 4x + 1 - {x^2} - x - 3}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x - 1 + \sqrt {{x^2} + x + 3} } \right)}} = - \frac{7}{6} \end{array}\) Do đó chỉ có x=3 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số.
Câu 317: Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình \(f(x)=m\) có ba nghiệm thực phân biệt? A. \(\left[ { - 1;2} \right]\) B. \(\left( { - 1;2} \right)\) C. \(\left( { - 1;2} \right]\) D. \(( - \infty ;2]\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến ta dễ thấy đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số y=f(x) tại 3 điểm phân biệt khi: \(-1<m<2.\)
Câu 318: Đồ thị của hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\) và đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 4\) có tất cả bao nhiêu điểm chung. A. 0 B. 4 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l} {x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 2 = - {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \end{array}\) Phương trình có 2 nghiệm nên đồ thị hai hàm đã cho sẽ có 2 điểm chung.
Câu 319: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}?\) A. x=1 B. y=-1 C. y=2 D. x=-1 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x=-1\) làm tiệm cận đứng.
Câu 320: Cho hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) có đồ thị là (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. A. \({M_1}\left( {1; - 1} \right);{M_2}\left( {7;5} \right)\) B. \({M_1}\left( {1;1} \right);{M_2}\left( { - 7;5} \right)\) C. \({M_1}\left( { - 1;1} \right);{M_2}\left( {7;5} \right)\) D. \({M_1}\left( {1;1} \right);{M_2}\left( {7; - 5} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị (C) có tiệm cận đứng: \({\Delta _1}:x - 3 = 0\) và tiệm cận ngang \({\Delta _2}:y - 3 = 0.\) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) với \({y_0} = \frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}}\,\,\,\left( {{x_0} \ne 3} \right)\). Ta có: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = 2.d\left( {M,{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {{y_0} - 3} \right|\) \(\Leftrightarrow \left| {{x_0} - 3} \right| = 2.\left| {\frac{{3{x_0} - 1}}{{{x_0} - 3}} - 3} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = - 1\\ {x_0} = 7 \end{array} \right.\) Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - 1;1} \right)\) và \({M_2}\left( {7;5} \right).\)
Câu 321: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{m{x^2} - 2x + 3}}\)có hai tiệm cận đứng. A. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) B. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\) C. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{5}} \right)\backslash \left\{ 0;-1 \right\}\) D. \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\backslash \left\{ {0; } \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì phương trình \(g(x) = m{x^2} - 2x + 3 = 0\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Điều này xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta {'_{g(x)}} = 1 - 3m > 0\\ g(1) = m + 1 \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0;m \ne - 1\\ m < \frac{1}{3} \end{array} \right..\)
