Câu 342: Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng y=x+1 và đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{x - 1}}.\)Tìm hoành độ \(x_0\) của điểm I là trung điểm của MN. A. \({x_0} = 1\) B. \({x_0} = \frac{5}{2}\) C. \({x_0} = 2\) D. \({x_0} = -\frac{5}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\frac{{2x + 4}}{{x - 1}} = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = - 1} \end{array}} \right.\) Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là \({x_I} = \frac{{{x_M} + {x_N}}}{2} = 1\)
Câu 343: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê phương án A,B,C,D. Hàm số là hàm số nào? A. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) B. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) C. \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) D. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy đây là đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất, nên ta loại ý B,C Ta thấy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên ta chọn ý A vì ý D giao diểm của nó với trục hoành có hoành độ là -2<0.
Câu 344: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho công thức \(H(x) = 0,025{x^2}(30 - x)\) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc m cần tiêm cho bệnh nhân trên để huyết áp giảm nhiều nhất. A. m=10 B. m=20 C. m=30 D. m=15 Spoiler: Xem đáp án Hàm số \(y = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right),0 < x < 30\) \(y' = 0.025x\left( {60 - 3x} \right)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 20 \end{array} \right.\) Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đặt giá trị lớn nhất tại x=20.
Câu 345: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = x + m\sqrt {{x^2} + x + 1}\) có đường tiệm cận ngang. A. m=-1 B. m<0 C. m>0 D. \(m = \pm 1\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {x + m\sqrt {{x^2} + x + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + {m^2}({x^2} + x + 1)}}{{x - m\sqrt {{x^2} + x + 1} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\left( {1 - {m^2}} \right){x^2} - {m^2}(x + 1)}}{{x - m\sqrt {{x^2} + x + 1} }} \end{array}\) Để đồ thị hàm số y=f(x) có tiệm cận ngang thì: \(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to + \infty } = a\) hoặc \(\mathop {\lim f(x)}\limits_{x \to - \infty } = b\) với a,b là các số thực. Suy ra bậc của tử thức phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu thức. Điều nảy xảy ra khi: \(1 - {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\)
Câu 346: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê phương án A,B,C,D. Hàm số là hàm số nào? A. \(y = {x^2} - 2x - 2\) B. \(y = - {x^3} + 3x - 2\) C. \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) D. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) Spoiler: Xem đáp án Từ đồ thị ta thấy đây là hình dáng của đồ thị hàm số bậc 3, có hệ số của \(x^3\) âm, phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt. Nên B là phương án đúng.
Câu 347: Đồ thị hàm số $y = \frac{7}{{2x+5}}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{7}{{2x + 5}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = \frac{{ - 5}}{2}\) và tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
Câu 348: Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số $$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \({-x^3} + 3{x^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt. A. \(m \in \left\{ {0;4} \right\}\) B. \(m \in \left\{ {-4;0} \right\}\) C. \(m \in \left\{ {-4;4} \right\}\) D. \(m =0\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình đã cho tương đương với \(- {x^3} + 3x - 4 = m - 4\left( * \right).\) Để tìm số nghiệm của (*) ta tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 4\) (hình vẽ đã cho) và đường thẳng \(y=m-4\) (là đường thẳng song song với trục hoành). Phương trình (*) có 2 nghiệm hay đường thẳng d cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt khi: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 4 = 0}\\ {m - 4 = - 4} \end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4}\\ {m = 0} \end{array}} \right.} \right.\)
Câu 349: Đồ thị hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} - 1}}$ có bao nhiêu tiệm cận? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng x=1 và x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Đường thẳng y=0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 350: Cho hàm số \(y = {x^3} + mx + 2\) có đồ thị \((C_m).\) Tìm m để đồ thị \((C_m)\) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. A. \(m >-3\) B. \(m <-3\) C. \(m >3\) D. \(m <3\) Spoiler: Xem đáp án Số giao điểm của đồ thị \((C_m)\) với trục hoành là số nghiệm của phương trình: \({x^3} + mx + 2 = 0.\) Ta có: \(x=0\) không phải là nghiệm của phương trình. Với \(x\ne0\) ta có: \(m = - {x^2} - \frac{2}{x}\,(*)\) Đặt \(f(x) = - {x^2} - \frac{2}{x}\) Ta có: \(f'(x) - - 2x + \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{{ - 2({x^3} - 1)}}{{{x^2}}};\,\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) Bảng biến thiên của f(x): Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của hàm số f(x) và đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với m>-3 thì phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất.
Câu 351: Tìm số thực m để đồ thị hàm số $y = \frac{{x+2}}{{x - 1}}$ cắt đường thẳng $y = x+m$ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm I của đoạn AB nằm trên trục hoành. A. m=1 B. m=-2 C. m=3 D. m=4 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{x + 2}}{{x - 1}} = x + m \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - \left( {m + 2} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\) Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\), từ yêu cầu bài toán suy ra: \({y_I} = 0\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_I} + m = 0 \Rightarrow \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} + m = 0\\ \Rightarrow {x_A} + {x_B} + 2m = 0 \Rightarrow 2 - m + 2m = 0 \Rightarrow m = - 2 \end{array}\) Thử lại với m=-2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Nên m=-2 thỏa yêu cầu bài toán.
