Câu 382: Tìm hàm số có dạng \(y = \frac{{ax + 1}}{{x + d}}\) biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;5) và nhận đường thẳng x=1 làm tiệm cận đứng. A. \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) B. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) C. \(y = \frac{{ - 3x + 2}}{{1 - x}}\) D. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1 nên phương trình \(x+d=0\) nhận x=1 làm nghiệm, suy ra \(1 + d = 0 \Rightarrow d = - 1\). Điểm A(2;5) thuộc đồ thị hàm số nên \(5 = \frac{{a.2 + 1}}{{2 - 1}} \Rightarrow a = 2\).
Câu 383: Cho hai hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + {m^2} - 4}}\) và \(y = \frac{{ - x - 7}}{{x + 5}}\) . Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hai đường tiệm cận đứng của 2 đồ thị hàm số trên trùng nhau? A. \(m \in \left\{ { - 1;1} \right\}\) B. \(m \in \left\{ { - 3;3} \right\}\) C. \(m \in \left\{ { - 2;2} \right\}\) D. \(m \in \left\{ { 0} \right\}\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + {m^2} - 4}}\) nếu có sẽ có dạng: \(x = 4 - {m^2}\) với \(x \ne \frac{3}{2}\) (*) Đường thẳng x=-5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x - 7}}{{x + 5}}\). Để hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau thì \(4 - {m^2} = - 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 3}\\ {m = 3} \end{array}} \right.\) . Kiểm tra các giá trị m tìm được thỏa điều kiện (*).
Câu 384: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) tại 3 điểm phân biệt. A. \(0 \le m \le 4\) B. \(m>4\) C. \(0 <m \le 4\) D. \(0< m < 4\) Spoiler: Xem đáp án Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) \(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 3\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) tại 3 điểm phân biệt khi \(0<m<4\).
Câu 385: Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x+2$. A. \({y_{CT}} = \frac{{19}}{6}\) B. \({y_{CT}} =-1\) C. \({y_{CT}} = 2\) D. \({y_{CT}} =- \frac{{4}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2\) \(y' = {x^2} - x - 2;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\) Bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2, Giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - \frac{4}{3}\).
Câu 386: Cho hàm số $f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên: Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. B. Đường thẳng \(y=2\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại 3 điểm phân biệt. C. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0. D. Hàm số nghịch biến trên \(\left ( -2;0 \right )\) Spoiler: Xem đáp án Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên \(\mathbb{R}\).
Câu 387: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(d:x + 3y + m = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm A(1; 0). A. m=6 B. m=4 C. m=-6 D. m=-4 Spoiler: Xem đáp án Ta có:\(d:y = - \frac{1}{3}x - \frac{m}{3}\) Hoành độ giao điểm của d và (H) là nghiệm của phương trình \(\frac{{2x - 3}}{{x - 1}} = - \frac{1}{3}x - \frac{m}{3} \Rightarrow {x^2} + \left( {m + 5} \right)x - m - 9 = 0\,\,\left( 1 \right)\) Với x=1, ta có: -3=0 (vô lý) Vậy x=1 không làm nghiệm của (1). Ta có: \(\Delta = {\left( {m + 7} \right)^2} + 12 > 0,\,\forall m.\,\) Vậy d và (H) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Gọi \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right),N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ giao điểm. Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_1} - 1;{y_1}} \right),\overrightarrow {AN} = \left( {{x_2} - 1;{y_2}} \right)\). Tam giác AMN vuông tại A. \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) + {y_1}{y_2} = 0\) \(\Leftrightarrow 10{x_1}{x_2} + \left( {m - 9} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} + 9 = 0.\,\left( 2 \right)\) Áp dụng định lý Viet, ta có \({x_1} + {x_2} = - m - 5,\,{x_1}{x_2} = - m - 9\) \(10\left( { - m - 9} \right) + \left( {m - 9} \right)\left( { - m - 5} \right) + {m^2} + 9 = 0\) \(\Leftrightarrow - 6m - 36 = 0 \Leftrightarrow m = - 6\)
Câu 388: Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2}}{{x - n + 1}}\). Tính tổng m+n biết đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad - bc \ne 0} \right)\) có đường tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\). Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x + 2}}{{x - n + 1}}\) có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là trục tung và trục hoành khi: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{n - 1}}{1} = 0\\ \frac{{m + 1}}{1} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow n - 1 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m + n = 0\)
Câu 389: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. M(0; 1) được gọi là điểm cực tiểu của hàm số. B. x0=-1 được gọi là điểm cực đại của hàm số. C. f(0)=1 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. f(1)=2 được gọi là giá trị cực đại của hàm số. Spoiler: Xem đáp án Khẳng định C là khẳng định sai vì: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số không có giá trị nhỏ nhất, f(0)=1 là giá trị cực tiểu của hàm số.
Câu 390: Cho hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y=-1, có tiệm cận đứng là x=0 B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=1 và y=-1 C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=1 và y=-1, có tiệm cận đứng là x=0 D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y=1, có tiệm cận đứng là x=0 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = 1\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} = - 1 \Rightarrow y = 1;y = - 1\) là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{x}\) không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 391: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và đạt cực đại tại x=-1. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1 C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 và đạt giá trị lớn nhất bằng 3 D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-1; -1) và điểm cực đại B(1; 3) Spoiler: Xem đáp án A sai, đúng là: Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 và đạt cực đại tại x=1. B sai do giá trị cực đại của hàm số là 3. C sai: dựa vào đồ thị hàm số ta có thể kết luận hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định. D đúng: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu A(-1; -1) và điểm cực đại B(1; 3).
