Câu 412: Đồ thị hàm số \(y= \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x - 3}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;3} \right\}\) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x - 3}}\) có 2 tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1 và đường thẳng x=3; 1 tiệm cận ngang là đường thẳng y=0.
Câu 413: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) có 2 tiệm cận đứng. A. \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ { - 8} \right\}\) B. \(m \in \left( { 1;+ \infty} \right)\) C. \(m \in \left( { 1;+ \infty} \right)\backslash \left\{ { 8} \right\}\) D. \(m \in \left( { - \infty;1} \right)\) Spoiler: Xem đáp án Để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) có hai tiệm cận đúng thì phương trình: phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 và -2. Xét: \({x^2} - 2x + m = 0\) \(\begin{array}{l} \Delta = 1 - m\\ \Delta > 0 \Leftrightarrow m < 1 \end{array}\) Khi đó phương trình có 2 nghiệm là: \(\begin{array}{l} {x_1} = 1 - \sqrt {1 - m} \\ {x_2} = 1 + \sqrt {1 - m} \end{array}\) \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} \ne - 2\\ {x_1} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - \sqrt {1 - m} \ne - 2\\ 1 - \sqrt {1 - m} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne - 8\\ m \ne 1 \end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l} {x_2} \ne - 2\\ {x_2} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 + \sqrt {1 - m} \ne - 2\\ 1 + \sqrt {1 - m} \ne 1 \end{array} \right.\, \Leftrightarrow m \ne 1\) Vậy \(m \in \left( { - \infty ;1} \right)\backslash \left\{ { - 8} \right\}\) thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 414: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên các khoảng\((0; + \infty )\)và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = 2\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) B. Đường thẳng x=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) C. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) D. Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\). Vậy C đúng.
Câu 415: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên các khoảng \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x) = 2\). Với giả thiết đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x). B. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x). C. Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x). D. Đường thẳng y=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x). Spoiler: Xem đáp án Ta có Đường thẳng y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\). Vậy ta thấy C đúng.
Câu 416: Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D đưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\) B. \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) C. \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 2\) D. \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 2\) Spoiler: Xem đáp án Dạng đường cong này là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương, loại phương án B và D. Đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c\,(a \ne 0)\) có dạng hình chữ W, suy ra a>0, nên ta chọn ngay phương án A.
Câu 417: Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2}\) cắt trục hoành tại mấy điểm? A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có phương trình \({x^3} - {x^2} = 0\) có 2 nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Câu 418: Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\left( C \right)\). Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng \(d:y = x + m - 1\) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho \(AB = 2\sqrt 3\). A. \(m = 4 \pm \sqrt {10}\) B. \(m = 2 \pm \sqrt {10}\) C. \(m = 4 \pm \sqrt 3\) D. \(m = 2 \pm \sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m - 1 \Rightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\,\left( * \right)\) Ta thấy x=-1 không là nghiệm của (*) Vì A,B là giao điểm của (C) và d nên A,B thuộc đường thẳng d và tọa độ x1;x2 là nghiệm của phương trình (*) \(A\left( {{x_1};{x_1} + m - 1} \right);B\left( {{x_2};{x_2} + m - 1} \right)\) \(\to AB = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4\left( {{x_1}.{x_2}} \right)} \right]\) Theo vi-et: \({x_1} + {x_2} = 2 - m\) ; \({x_1}{x_2} = m - 2\) \(A{B^2} = 12 \Leftrightarrow m = 4 \pm \sqrt {10}\)
Câu 419: Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3\) như hình vẽ. Từ đồ thị hãy xác định số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = m\) với \(m \in \left( {3;4} \right)\). A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Số nghiệm của phương trình \(\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = m\) là số giao điểm của 2 đồ thị hàm số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = h\left( x \right) = \left| {f\left( x \right)} \right|\left( C \right)}\\ {y = m\left( d \right)} \end{array}} \right.\), với y=m là đường thẳng cùng phương với trục Ox. Vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=x^4-2x^2-3\). Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục Ox, lấy đối xứng phần đồ thị dưới trục Oxqua Ox ta được đồ thị hàm số \(y=\left | x^4-2x^2-3 \right |\) như hình vẽ sau: Nhìn vào đồ thị ta thấy với \(m \in \left( {3;4} \right)\) thì d cắt (C) tại 6 điểm phân biệt. Vậy với \(m \in \left( {3;4} \right)\) thì phương trình có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 420: Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}}\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng. D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang. Spoiler: Xem đáp án \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = - \infty\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = + \infty\) Nên x=2;x=9 là các tiệm cận đứng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{{x^2} - 11x + 18}} = 1\) Nên y = 1 là tiệm cận ngang. Vậy D là phương án cần tìm.
Câu 421: Những mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? (1) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số. (2) Cho hàm số f(x) là hàm số bậc 3, nếu hàm số có cực trị thì đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. (3) Cho hàm số f(x) là hàm số bậc 3, nếu đồ thị hàm số cắt trục Ox tại duy nhất một điểm thì hàm số không có giá trị cực trị. A. (1) B. (2) C. (1);(2) D. (2);(3) Spoiler: Xem đáp án Với mệnh đề (1): đây là mệnh đề đúng, ta cùng nhớ lại chú ý trang 14 sách giáo khoa cơ bản nhé: “Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ(fCT), còn điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.” Chú ý tránh nhầm các khái niệm: “điểm cực đại của hàm số”, “điểm cực đại của đồ thị hàm số”. “giá trị cực đại”, … Với mệnh đề (2): Ta nhận thấy đây là mệnh đề sai, ta chỉ lấy đơn cử ví dụ như hình vẽ sau đây: Đồ thị hàm số ở hình vẽ có 2 điểm cực trị nhưng chỉ cắt trục Ox tại duy nhất 1 điểm, nên kết luận này là sai. Với mệnh đề (3): Ta cũng nhìn vào hình vẽ đã lấy làm ví dụ minh họa ở mệnh đề 2 để nhận xét rằng đây là mệnh đề sai. Vây đáp án đúng của chúng ta là A: có 1 mệnh đề đúng.
