Câu 422: Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. (C) cắt đường thẳng y=3 tại hai điểm. B. (C) cắt đường thẳng y=-4 tại hai điểm. C. (C) cắt đường thẳng \(y = \frac{5}{3}\) tại ba điểm. D. (C) cắt trục hoành tại một điểm. Spoiler: Xem đáp án Vì đây là dạng toán tìm nhận định đúng nên ta đi kiểm tra tính đúng đắn của từng mệnh đề một. Với mệnh đề A: phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là: \({x^3} - 3x = 3\). Bấm máy tính ta thấy phương trình chỉ có một nghiệm thực. Vậy chỉ có 1 điểm. Đáp án A sai. Với mệnh đề B: xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: \({x^3} - 3x = - 4\). Bấm máy tính ta thấy phương trình cũng chỉ có 1 nghiệm, vậy đáp án B sai. Với mệnh đề C: xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: \({x^3} - 3x = \frac{5}{3}\). Bấm máy tính ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Vậy mệnh đề này đúng, ta chọn luôn đáp án C.
Câu 423: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }}\) không có tiệm cận ngang. A. \(m \le 0\) B. \(m = 0\) C. \(m < 0\) D. \(m > 0\) Spoiler: Xem đáp án Đường thẳng \(y = {y_0}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) Xét: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{\sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt m }}\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {m{x^2} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {m + \frac{1}{{{x^2}}}} }} = - \frac{1}{{\sqrt m }}\) Để đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang thì không tồn tại thì \(\frac{1}{{\sqrt m }}; - \frac{1}{{\sqrt m }}\) không xác định \(\Leftrightarrow m \le 0\). Đáp án A.
Câu 424: Cho hàm số \(y = - {x^3} - x + 1\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:y = - x + {m^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại ba điểm phân biệt B. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại đúng hai điểm C. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 D. Đồ thị (C) luôn cắt đường thẳng d tại đúng một điểm Spoiler: Xem đáp án Với bài toán này, đọc các mệnh đề ta thấy nói về giao điểm, vì thế, ta xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(- {x^3} - x + 1 = - x + {m^2}\). \(\Leftrightarrow {x^3} + {m^2} - 1 = 0\) \(\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\left( {1 - {m^2}} \right)}}\) Vậy phương trình hoành độ giao điểm luôn có duy nhất một nghiệm, vậy đáp án đúng của ta là D.
Câu 425: Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C), tìm hàm số có đồ thị (C') đối xứng với (C) qua gốc tọa độ O? A. \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) B. \(y = \frac{{2 - x}}{{x + 1}}\) C. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) D. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\) Spoiler: Xem đáp án Nhận xét với điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thì điểm M' đối xứng với \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có tọa độ \(\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)\). Khi đó \(- {y_0} = \frac{{ - {x_0} + 2}}{{ - {x_0} - 1}} \Leftrightarrow {y_0} = \frac{{2 - {x_0}}}{{{x_0} + 1}}\). Đáp án B.
Câu 426: Tìm điều kiện của b và c để đồ thị hàm số \(y = {x^4} + b{x^2} + c\) chỉ có một điểm cực trị có tọa độ là \(\left( {0; - 1} \right)\). A. \(b \ge 0\) và c=-1 B. b<0 và c=-1 C. \(b \ge 0\) và c>0 D. b>0 và c tùy ý Spoiler: Xem đáp án Cần xem lại bảng trang 38 sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản. Hàm số đã cho đã thỏa mãn điều kiện \(a = 1 > 0\), nên để đồ thị hàm số đã cho chỉ có một điểm cực tiểu thì phương trình y'=0 có một nghiệm duy nhất. Mà \(y' = 4{x^3} + 2bx = 2x\left( {2{x^2} + b} \right)\). Để phương trình y'=0 có nghiệm duy nhất thì phương trình \(2{x^2} + b = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0. Khi đó \(b \ge 0\). Còn điều kiện của c thì sao, đề đã cho tọa độ của điểm cực tiểu, từ đó ta có thể dễ dàng tìm được c=-1.
Câu 427: Tìm toạ độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 5\). A. (0;5) B. (1;3) C. (-1;1) D. Không có điểm uốn. Spoiler: Xem đáp án \(y = {x^3} - 3x + 5 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3 \Rightarrow y'' = 6x\) \(y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow\)Tâm đối xứng I(0;5)
Câu 428: Kết luận nào sau đây là không đúng về đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\)? A. Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. B. Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y''=0 làm tâm đối xứng. C. Nếu phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số bậc ba có 1 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu. D. Đồ thị hàm số bậc ba không có điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 vô nghiệm. Spoiler: Xem đáp án Mệnh đề D là mệnh đề sai vì: Ta thấy nếu phương trình y'=0 vô nghiệm thì đồ thị hàm số bậc ba đúng là không có điểm cực trị, nhưng đó có phải là toàn bộ trường hợp có thể xảy ra hay không? Không, vì nếu phương trình y'=0 có nghiệm kép thì đồ thị hàm số bậc ba cũng không có điểm cực trị. (Như bảng trang 35 SGK)
Câu 429: Số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2} - 2x}}\) là bao nhiêu ? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Giải phương trình \({x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right.\) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = + \infty\), suy ra x = 0 là 1 TCĐ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty\), suy ra x =2 là 1 TCĐ. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = 2,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = 2\), suy ra y=2 là 1 TCN. Vậy đáp án là D, 3 tiệm cận.
Câu 430: Đường thẳng \(d:y = - x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x}}{{x - 1}}\) tại mấy điểm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{{x^2} - 3x}}{{x - 1}} = - x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + m = 0\) \(\Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} - 8m = {m^2} + 16 > 0,\forall m \Rightarrow 2\) nghiệm phân biệt Vậy d cắt (C) tại 2 điểm.
Câu 431: Hai đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) cắt nhau tại đúng một điểm thuộc góc phần tư thứ ba. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có đúng một nghiệm âm. B. Với x0 thỏa mãn \(f\left( {{x_0}} \right) - g\left( {{x_0}} \right) = 0\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) C. Phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) không có nghiệm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) D. A và C Spoiler: Xem đáp án Với bài toán này ta cần biết góc phần tư thứ ba trên hệ trục tọa độ Oxy là những điểm có tung độ và hoành độ âm. Từ đó, đáp án đúng ở đây là đáp án D.
