Câu 41: Trong các hàm số được nêu trong các phương án A,B,C,D, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng x = 2 và y=1 là các đường tiệm cận? A. \(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\) B. \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) C. \(y = \frac{1}{{{x^2} - x - 2}}\) D. \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,(c \ne 0,ad - bc \ne 0)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - \frac{d}{c}\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a}{c}.\) Suy ra D là phương án đúng.
Câu 42: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) như hình bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = m có hai điểm chung đều có hoành độ lớn hơn 2. A. \(1 \le m \le 3.\) B. \(1 < m < 3.\) C. \(1 < m \le 3.\) D. \(1 \le m < 3.\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = m có hai điểm chung đều có hoành độ lớn hơn 2 khi \(1 < m < 3.\)
Câu 43: Cho hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. \(a < 0,b < 0,c > 0.\) B. \(a > 0,b > 0,c > 0.\) C. \(a > 0,b < 0,c > 0.\) D. \(a < 0,b > 0,c > 0.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy + \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0\). + Hàm số có ba cực trị, suy ra PT \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0\) có ba nghiệm phân biệt, suy ra b > 0. + Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (0;c) \( \Rightarrow c > 0\).
Câu 44: Đồ thị hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? A. \(y = \frac{{2x - 3}}{{3x - 1}}.\) B. \(y = \frac{{3 - 2x}}{{x + 1}}.\) C. \(y = \frac{{3x + 4}}{{x - 1}}.\) D. \(y = \frac{{4x + 1}}{{x + 2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có hoành độ x=0. Thay vào các hàm số, ta thấy đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{x - 1}}\) cắt trục tung tại điểm (0;-4).
Câu 45: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3x + 4\) tại giao điểm của nó với trục hoành có phương trình là: A. \(y = 6x - 6\) B. \(y = 7x - 7\) C. \(y = 6x + 6\) D. \(y = 7x + 7\) Spoiler: Xem đáp án PT hoành độ giao điểm đồ thị và trục hoành là \({x^3} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số và truch hoành, suy ra \(A\left( { - 1;0} \right)\) Ta có \(y' = {\left( {{x^3} + 3x + 4} \right)^\prime } = 3{x^2} + 3 \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 6\) Gọi d là PTTT với đồ thị hàm số tại \(A\left( { - 1;0} \right) \Rightarrow d:y = 6\left( {x + 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = 6x + 6\)
Câu 46: Đường thẳng nào dưới đây không phải là tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - 1}}\)? A. \(y = 2\) B. \(x = 1\) C. \(x = - 1\) D. \(y = 0\) Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = 0\) làm tiệm cận đứng và nhận các đường thẳng \(x = 1;x - 1\) làm tiệm cận ngang.
Câu 47: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2 - {x^2}} - x}}{{\left( {2x - 3} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 1 \right\} \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Khi đó \(y = \frac{{\sqrt {2 - {x^2}} - x}}{{\left( {2x - 3} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - {x^2} - {x^2}}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - {x^2}} + x} \right)}} = \frac{{2 + 2x}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {\sqrt {2 - {x^2}} + x} \right)}}\). Ta có \(\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - {x^2}} + x} \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.
Câu 48: Cho m là một số thực. Hỏi đồ thị của hàm số \(y = 2{x^3} - x\) và đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - m\) cắt nhau tại ít nhất mấy điểm? A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là \(2{x^3} - x = {x^3} + m{x^2} - m \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - x + m = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - m = 0\\{x^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = \pm 1\end{array} \right.\). Suy ra hai đồ thị có ít nhất hai điểm chung.
Câu 49: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + 2} }}\) có tiệm cận ngang. A. \(a \le 0.\) B. \(a \ge 0.\) C. \(a > 0.\) D. \(a = 1\) hoặc \(a = 4.\) Spoiler: Xem đáp án Nếu a=0, hàm số trở thành: \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\sqrt 2 }}.\) Khi đó ta có: \(\mathop {\lim \,y}\limits_{x \to - \infty } = 0;\mathop {\,\lim \,y}\limits_{x \to + \infty } = 0\) hay đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang y=0. Vậy a=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nếu \(a \ne 0,\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{ - \sqrt {a + \frac{2}{{{x^2}}}} }} = \frac{2}{{ - \sqrt a }};\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\sqrt {a + \frac{2}{{{x^2}}}} }} = \frac{0}{{\sqrt a }};\) Vậy đồ thị có tiệm cận ngang khi a>0. Vậy \(a \ge 0\) là các giá trị cần tìm.
Câu 50: Hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? A. \(f\left( x \right) = {x^3} + {x^2} - x - 1.\) B. \(f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + x - 1.\) C. \(f\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + 2x - 1.\) D. \(f\left( x \right) = - {x^3} + {x^2} + x - 1.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên a < 0 nên loại A và B. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ \(\left( {1;0} \right)\) nên loại C.
