Câu 51: Cho hàm số \(y = \frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right).\) Mệnh đề nào sau đây là sai? A. \(\left( C \right)\) có tiệm cận ngang là \(y = - 2.\) B. \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng. C. \(\left( C \right)\) có tiệm cận ngang là \(y = 1.\) D. \(\left( C \right)\) có 2 tiệm cận. Spoiler: Xem đáp án Đồ thị (C) có hai tiệm cận. Tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1. Tiệm cận ngang là đường thẳng y=-2.
Câu 52: Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4 - 2{\rm{x}}}}{{x - 1}}?\) A. \(x = 2.\) B. \(y = 4.\) C. \(y = - 2.\) D. \(x = - 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4 - 2{\rm{x}}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{4}{x} - 2}}{{1 - \frac{1}{x}}} = - 2 \Rightarrow y = - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 53: Số giao điểm của hàm số \(y = {x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1\) và \(y = {x^4} + {x^3} - 3\) là: A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({x^3} + 3{{\rm{x}}^2} + 1 = {x^4} + {x^3} - 3 \Leftrightarrow {x^4} - 3{{\rm{x}}^2} - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\\{x^2} = 4\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) Nên hai đồ thị hai hàm số có 2 giao điểm.
Câu 54: Cho hàm số \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right).\) Tổng khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? A. \(2\sqrt 3 .\) B. \(2.\) C. \(4.\) D. \(4\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi điểm \(M\left( {a;\frac{{2{\rm{a}} - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right).\) Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(x = - 1;\,\,y = 2.\) Suy ra khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận là \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1} = d\left( {M,x = - 1} \right) = \left| {a + 1} \right|\\{d_2} = d\left( {M,y = 2} \right) = \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\end{array} \right..\) Khi đó tổng khoảng cách sẽ bằng \(d = {d_1} + {d_2} = \left| {a + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {a + 1} \right|.\frac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}} = 2\sqrt 3 .\)
Câu 55: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f\left( 1 \right) = - 2\) và đạo hàm \(f'\left( x \right)\) với đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) giao với trục hoành nhiều nhất là bao nhiêu điểm? A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án \(y' < 0\) hàm số nghịch biến, \(y' > 0\) hàm số đồng biến. Dựa vào dạng đồ thị hàm số, suy ra đồ thị hàm số cắt trục Ox tại tối đa 2 nghiệm.
Câu 56: Cho bảng biến thiên sau của một hàm số như hình dưới đây. Đó là hàm số nào trong các hàm số sau? A. \(y = \frac{{2x - 1}}{{1 - x}}.\) B. \(y = \frac{{5x - 6}}{{x - 1}}.\) C. \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 2}}{{x - 1}}.\) D. \(y = \frac{{x - 3}}{{x - 1}}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào bảng biến thiên và đáp án ta thấy: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là \(x = 1;\,\,y = 1.\) Vậy D là phương án đúng.
Câu 57: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {2 - x} - 1}}{{x\left( {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Spoiler: Xem đáp án Hàm số có tập xác định \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\backslash \left\{ {0;1} \right\}.\) Khi đó: \(y = \frac{{\sqrt {2 - {\rm{x}}} - 1}}{{x\left( {{x^2} - 4{\rm{x}} + 3} \right)}} = \frac{{1 - x}}{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}} = - \frac{1}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}}.\) Suy ra \(x\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0.\) Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng.
Câu 58: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. \(bd < 0,ad > 0\) B. \(ac > 0,bd > 0\) C. \(bc > 0,ad < 0\) D. \(ab < 0,cd < 0\) Spoiler: Xem đáp án Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c}\); tiệm cận đứng \(y = \frac{{ - d}}{c}\) Giao điểm của đồ thị các trục tọa độ \(\left( {0;\frac{b}{d}} \right);\left( {\frac{{ - b}}{a};0} \right)\) Từ đồ thị ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{c} > 0, - \frac{d}{c} > 0\\\frac{b}{d} < 0, - \frac{b}{a} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ac > 0\\cd < 0\\bd < 0\\ab > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}bc > 0\\ad < 0\end{array} \right..\)
Câu 59: Đồ thị của hàm số ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây? A. \(y = \frac{1}{3}{x^4} + \frac{7}{3}{x^2} - 2\) B. \(y = {x^4} + {x^2} - 2\) C. \(y = {x^4} - 3{x^2} - 2\) D. \(y = - \frac{1}{3}{x^4} + \frac{7}{3}{x^2} - 2\) Spoiler: Xem đáp án Dựa vào đồ thị hàm số và đáp án ta thấy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \) nên hệ số của \({x^4}\) âm. Vậy D là phương án đúng.
Câu 60: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 3}}\) là: A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{2x + 3}}\) có tiệm cận đứng \(x = - \frac{3}{2}\), tiệm cận ngang \(y = \frac{1}{2}\).
