Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a\sqrt 3 ,\,AD = a\sqrt 2 .\) Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SC tạo với đáy một góc \({45^0}.\) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. A. \(\frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{2}\) (đvtt) B. \(\frac{{\sqrt {30} {a^3}}}{6}\)(đvtt) C. \(\frac{{\sqrt {66} {a^3}}}{{12}}\) (đvtt) D. \(\frac{{\sqrt {66} {a^3}}}{6}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Vì H là hình chiếu của S xuống mp(ABCD) nên \((SC,mp(ABCD)) = (SC,HC) = SCH = {45^0}\) Xét tam giác BCH vuông tại B, theo định lý Py-ta-go ta có: \(C{H^2} = B{C^2} + B{H^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{11{a^2}}}{4}\) \( \Rightarrow CH = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}.\) Xét tam giác SCH vuông tại H có \(SCH = {45^0} \Rightarrow \Delta SCH\) vuông cân tại H \( \Rightarrow SH = CH = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\) Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.AD = a\sqrt 3 .a\sqrt 2 = \sqrt 6 {a^2}\) Do đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {11} }}{2}.{a^2}\sqrt 6 = \frac{{\sqrt {66} {a^3}}}{6}\) (đvtt)
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và thể tích khối chóp đó bằng \(\sqrt 3 {a^3}.\) Tính chiều cao h của hình chóp đã cho. A. \(2\sqrt 3 a\) (đvtt) B. \(\sqrt 3 a\) (đvtt) C. \(3a\) (đvtt) D. \(2a\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh 2a. \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{{(2a)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 {a^2}.\) Chiều cao của hình chóp S.ABC là: \(h = \frac{{3.{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{3.\sqrt 3 {a^3}}}{{\sqrt 3 {a^2}}} = 3a\) (đvtt)
Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích là V. Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC theo V. A. \(\frac{V}{3}\) (đvtt) B. \(\frac{V}{6}\)(đvtt) C. \(\frac{V}{4}\) (đvtt) D. \(\frac{V}{2}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Vì hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và khối chóp A’.ABCD có cùng chiều cao hạ từ A’ xuống mp(ABCD) và chung đáy (ABCD). \( \Rightarrow {V_{A'.ABCD}} = \frac{1}{3}.{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}.V\) Mặt khác: \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABC}} \Rightarrow {V_{A'.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{A'.ABCD}}.\) Do đó: \({V_{A'ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.V = \frac{1}{6}V\) (đvtt)
Câu 4: Hình chóp S.ABC có BC =2a, đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)(đvtt) B. \(2{a^3}\sqrt 6 \) (đvtt) C. \(\frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)(đvtt) D. \({a^3}\sqrt 6 \)(đvtt) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm cạnh AB Dựa vào tính chất hai mặt phẳng vuông góc với nhau suy ra \(SM \bot (ABC)\) \( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AC.BC.SM\) Gọi N là trung điểm của đoạn AC MN là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow MN \bot AC;MN = \frac{1}{2}BC = a\) Chỉ ra góc giữa mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (SAC) là \(SMN = {60^0}\) Tính thể tích hình chóp S.ABC \(\begin{array}{l}SM = MN.\tan SNM = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \\SN = \frac{{MN}}{{{\rm{cosSNM}}}} = \frac{a}{{{\rm{cos}}{{60}^0}}} = 2a.\\AB = 2SM = 2a\sqrt 3 .\\AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{(2a)}^2}} = 2a\sqrt 2 \end{array}\) Vậy \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SM = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AC.BC.SM = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) (đvtt)
Câu 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết rằng A’G vuông góc với mặt đáy (ABC) và A’B tạo với đáy một góc \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp A’BCC’B’. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{9}\) (đvtt) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{18}}\)(đvtt) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\) (đvtt) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{8}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Để tích thể tích khối chóp A’BCC’B’ ta tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\) và \({V_{A'ABC}}.\) Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên suy ra \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};BC = a\sqrt 2 .\) Vì G là trọng tâm của tam giác \(ABC \Rightarrow MG = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\) Tam giác BGM vuông tại M \( \Rightarrow BG = \sqrt {M{G^2} + B{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 a}}{3}\) Vì \(A'G \bot mp(ABC) \Rightarrow (A'B,mp(ABC)) = (A'B,GB) = A'BG = {45^0}\) \( \Rightarrow \Delta A'GB\) vuông cân tại \(G \Rightarrow A'G = GB = \frac{{\sqrt 5 a}}{3}.\) \(\begin{array}{l}{V_{ABC.A'B'C'}} = A'G.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 5 a}}{3}.\left( {\frac{1}{2}a.a} \right) = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\\{V_{A'ABC}} = \frac{1}{3}.A'G.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 5 a}}{3}.\left( {\frac{1}{2}a.a} \right) = \frac{{\sqrt 5 }}{{18}}{a^3}.\end{array}\) Từ đó suy ra: \({V_{A'.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{A'ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6} - \frac{{\sqrt 5 }}{{18}}{a^3} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{9}\) (đvtt)
Câu 6: Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có diện tích các mặt ABCD, ABB’A’, ADD’A’ lần lượt bằng \(20c{m^2},28c{m^2},35c{m^2}.\) Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. 120\(c{m^3}\) B. 140\(c{m^3}\) C. 150\(c{m^3}\) D. 160\(c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{S_{ABCD}}.{S_{ABB'A'}}.{S_{ADD'A'}} = AB.AD.AB.{\rm{AA'}}{\rm{.AD}}{\rm{.A'A' = (AB}}{\rm{.AD}}{\rm{.AA}}'{)^2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.{\rm{AA}}'.AD = \sqrt {{S_{ABCD}}.{S_{ABB'A'}}.{S_{ADD'A'}}} \, = \sqrt {20.28.35} = 140(c{m^3})\end{array}\)
Câu 7: Cho khối tứ diện ABCD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho 3AM=4MB. Tính tỉ số \(\frac{{{V_{AMCD}}}}{{{V_{BMCD}}}}.\) A. \(\frac{3}{4}.\) B. \(\frac{4}{7}\) C. \(\frac{4}{3}\) D. \(\frac{7}{3}\) Spoiler: Xem đáp án - Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để suy ra kết quả: \(\frac{{{V_{AMCD}}}}{{{V_{BMCD}}}} = \frac{{AM.AC.AD}}{{AB.AC.AD}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{4}{7}\) \( \Rightarrow {V_{AMCD}} = \frac{4}{7}.{V_{ABCD}}\) Mà \({V_{AMCD}} + {V_{MBCD}} = {V_{ABCD}}\) \( \Rightarrow {V_{MBCD}} = \frac{3}{7}{V_{ABCD}}\) Vậy \(\frac{{{V_{AMCD}}}}{{{V_{BMCD}}}} = \frac{3}{4}.\)
Câu 8: Tháp Eiffel ở Pháp cao 300 m, được làm hoàn toàn bằng sắt và nặng khoảng 8000000 kg. Người ta làm một mô hình thu nhỏ của tháp với cùng chất liệu và cân nặng khoảng 1 kg. Hỏi chiều cao của mô hình là bao nhiêu? A. 1,5 m B. 2 m C. 0,5 m D. 3 m Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{m_1}}}{{{m_2}}} = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{S_1}{h_1}}}{{{S_2}{h_2}}} = \left( {{{\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}}^3}} \right) = 8000000 \Rightarrow \frac{{{h_1}}}{{{h_2}}}200\). Chú ý \(\frac{{{h_1}}}{{{h_2}}} = k;\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = {k^2}\) (tỷ số đồng dạng) Khi đó \({h_2} = \frac{{{h_1}}}{{200}} = 1,5m.\)
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) bằng \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABNM A. \(\frac{{25{a^3}}}{8}\) (đvtt) B. \(\frac{{25{a^3}}}{{16}}\) (đvtt) C. \(\frac{{25{a^3}}}{{18}}\) (đvtt) D. \(\frac{{25{a^3}}}{{24}}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án + Trước hết chỉ ra góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ \(AH \bot BM(H \in BM).\) \( \Rightarrow \) Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABC) là \(SHA = {45^0}\) \( \Rightarrow AH = a.\) +Xét tam giác ABM vuông tại A có đường cao AH: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\) \( \Rightarrow AB = a\sqrt 5 .\) + Tính diện tích các tam giác MDN, BNC và hình vuông ABCD. Từ đó suy ra \({S_{ABNM}} = {S_{ABCD}} - ({S_{MDN}} + {S_{BNC}}) = \frac{{25{a^2}}}{8}\) Vậy thể tích hình chóp S.ABNM là: \({V_{S.ABNM}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABNM}} = \frac{{25{a^2}}}{8} = \frac{1}{3}.a.\frac{{25{a^3}}}{8} = \frac{{25{a^3}}}{{24}}\) (đvtt)
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \({60^0}\), ABC và SBC là tam giác đều cạnh a. Tính thể tích khối chóp S.ABC A. \(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}\)(đvtt) B. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}\) (đvtt) C. \(\frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{{32}}\) (đvtt) D. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án + Trước hết chỉ ra góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) Gọi H là trung điểm của BC. \( \Rightarrow \left( {(SBC),(ABC)} \right) = (SH,AH) = SHA = {60^0}\) \( \Rightarrow \Delta SAH\) là tam giác đều \( \Rightarrow SA = AH = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) + Xác định đường cao của hình chóp S.ABC Kẻ \(SK \bot AH\) (K thuộc AH) \( \Rightarrow SK \bot mp(ABC),\,\,(Vi\,\,\,mp(SAH) \bot mp(ABC)).\) Tính được: \(SK = \frac{{3a}}{4}.\) + Từ đó suy ra thể tích của khối chóp S.ABC \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SK.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{16}}\) (đvtt)
