Câu 91: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA' và BB'. Tính thể tích của khối đa diện CNMA'B'C'. A. 12 B. 6 C. 9 D. 15 Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 92: Tìm số mặt phẳng đối xứng của một hình tứ diện đều. A. 5 B. 1 C. 4 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Xem đáp án
Câu 93: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho \(HB = 2HA.\) Cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc bằng \({60^o}.\) Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AD và SC. A. \(d = 3a\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} .\) B. \(d = \frac{4}{3}a\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} .\) C. \(d = 2a\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} .\) D. \(d = 6a\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(HC = \frac{{a\sqrt {13} }}{3};\,\,\,SH = HC.\tan {60^o} = \frac{{a\sqrt {39} }}{3}\). Gọi I là hình chiếu của H lên SB, khi đó: \(d\left( {A{\rm{D}},SC} \right) = d\left( {A{\rm{D}},\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{3}{2}HI\) Trong tam giác vuông SHB: \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{{\rm{S}}^2}}} + \frac{1}{{H{B^2}}} \Rightarrow HI = 2{\rm{a}}\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} \Rightarrow d\left( {A{\rm{D}},SC} \right) = 3{\rm{a}}\sqrt {\frac{{13}}{{129}}} .\)
Câu 94: Cho hình hộp đứng ABC.A¢B¢C¢D¢ có \(AB = a,\,\,A{\rm{D}} = 2{\rm{a}}.\) Góc tạo bởi AB' và mặt phẳng (ABCD) bằng \({60^o}.\) Tính thể tích của khối chóp D.ABCD'. A. \(V = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\) B. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}.\) C. \(V = \sqrt 3 {a^3}.\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Xét tam giác vuông \(BB'A:\,\,\,\widehat {\left( {AB',\left( {ABC{\rm{D}}} \right)} \right)} = \widehat {B'AB} = {60^o}\) \(\begin{array}{l}BB' = AB\tan {60^o} = a\tan {60^o} = a\sqrt 3 = {\rm{D'D}}\\{V_{D'ABCD}} = \frac{1}{3}D'D.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a.2a.a\sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\end{array}\)
Câu 95: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại C. Hình chiếu vuông góc A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB. Biết cạnh bên lăng trụ bằng 2a, đường cao lăng trụ bằng \(\frac{{a\sqrt 7 }}{2}.\) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' . A. \(V = \frac{9}{8}{a^3}\sqrt 7 .\) B. \(V = \frac{9}{{24}}{a^3}\sqrt 7 .\) C. \(V = \frac{9}{4}{a^3}\sqrt 7 .\) D. \(V = \frac{9}{{48}}{a^3}\sqrt 7 .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AH = \sqrt {AA{'^2} - A'{H^2}} = \frac{3}{2}a;\,\,CH = AH = \frac{{3a}}{2}.\) Thể tích lăng trụ: \(V = AH.HC.A'H = \frac{9}{8}{a^3}\sqrt 7 .\)
Câu 96: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc giữa cạnh bên hợp với mặt đáy bằng \({60^o}.\) Tính theo a thể tích khối chóp. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}.\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Vì góc hợp bởi các cạnh bên và mặt đáy đều bằng \({60^o}\)nên tam giác SAO là nửa tam giác đều và tam giác SBD đều. Vậy \(SO = SA.\sin {60^o} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,\,B{\rm{D}} = S{\rm{D}} = a \Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\) Vậy thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC{\rm{D}}}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Câu 97: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt bên (SCD) tạo với đáy một góc \(\varphi = {60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là: A. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\) B. \(\sqrt 3 {a^3}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{9}\) D. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD\) (1) Và tứ giác ABCD là hình vuông \(AD \bot CD\) (2) Từ (1), (2) suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SD;AD} \right)} = \widehat {SDA}\) Tam giác SAD vuông tại A, có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} \Rightarrow SA = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) Thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 98: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, khoảng cách giữa cạnh bên SA và cạnh đáy BC bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Thể tích khối chóp S.ABC là: A. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) D. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của BC, K là hình chiếu vuông góc của I lên SA. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI) \Rightarrow BC \bot KI\) Vậy \(KI = \frac{{3a}}{4}\) là khoảng cách giữa SA và BC. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4};AI = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Đặt \(SO = h\). Ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + A{O^2}} = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \) Tam giác SAO đồng dạng với tam giác IAK nên: \(\frac{{SO}}{{IK}} = \frac{{SA}}{{IA}} \Rightarrow SO.IA = IK.SA \Leftrightarrow h\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{3}} \Leftrightarrow h = a.\) Thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Câu 99: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = 3a,AD = AA' = 2a\). Thể tích khối tứ diện ACB’D’ là: A. \(2{a^3}\) B. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\) C. \(\frac{{4{a^3}}}{3}\) D. \(4{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy thể tích tứ diện ACB’D’ thì bằng thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ trừ đi thể tích của bốn tứ diện A’AB’D’; CB’C’D’; B’ABC và D’ACD. Bốn tứ diện này có thể tích bằng nhau vì có chiều cao bằng nhau và diện tích đáy bằng nửa diện tích đáy hình hộp. Ta có: \({V_{B'.ABC}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}.2a.2a = 2{a^3} = {V_{D.ACD'}} = {V_{C.B'C'D'}} = {V_{A'.AB'D'}}\) Vậy: Thể tích khối tứ diện ACB’D’ là \(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - 4.2{a^3} = 2a.2a.3a - 8{a^3} = 4{a^3}.\)
Câu 100: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đôi một vuông góc với nhau và có diện tích lần lượt là 8 \(c{m^2}\), 9 \(c{m^2}\) và 25\(c{m^2}\). Thể tích của hình chóp là: A. 60 \(c{m^3}\) B. 40 \(c{m^3}\) C. 30 \(c{m^3}\) D. 20 \(c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Vì (SAB); (SAC); (SBC) đôi một vuông góc nên \(SA \bot SB;SB \bot SC;SA \bot SC.\) Theo đề bài diện tích các tam giác SAB, SBC, SCA lần lượt là 8 \(c{m^2}\), 9 \(c{m^2}\) và 25\(c{m^2}\)nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}.SA.SB = 8\\\frac{1}{2}.SB.SC = 9\\\frac{1}{2}.SC.SA = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = \frac{{20}}{3}\\SB = \frac{{12}}{5}\\SC = \frac{{15}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC = 20c{m^3}.\)
