Câu 101: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có các cạnh bằng a. Thể tích khối tứ diện AB’A’C là: A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) Ta có: \({V_{B'.ABC}} = {V_{C.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\) Mà: \({V_{AA'B'C}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'.ABC}} - {V_{C.A'B'C'}}\) \( = {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Câu 102: Kí hiệu V là thể tích của khối hộp ABCD. A’B’C’D’; V1 là thể tích của khối tứ diện B’D’AC. Mệnh đề nào đúng? A. \(V = 3{V_1}\) B. \({V_1} = \frac{2}{3}V\) C. \({V_1} = \frac{1}{2}V\) D. \({V_1} = \frac{1}{3}V\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao của khối hộp. Ta có: \({V_{B'.ABC}} = \frac{1}{3}h.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}h.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}h.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}V\) \({V_1} = V - 4{V_{B'.ABC}} = V - 4.\frac{1}{6}V = \frac{1}{3}V\)
Câu 103: Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình tam giác vuông cân tại B và SA vuông với (ABC). Biết \(AC = 3a\sqrt 2 \) và góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 45o. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{9{a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) C. \(V = \frac{{27{a^3}}}{2}\) D. \(V = 27{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = A{C^2} \Leftrightarrow 2A{B^2} = {\left( {3a\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow AB = 3a\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot (SAB) \Rightarrow SB \bot BC\) Mặt khác: \(AB \bot BC\) Suy ra góc giữa (SBC) và (ABC) là \(\widehat {SBA} = {45^0}.\) Nên tam giác SAB vuông cân tại A. \( \Rightarrow SA = AB = 3a\) Thể tích của khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{1}{2}{\left( {3a} \right)^2} = \frac{{9{a^3}}}{2}\)
Câu 104: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a và có thể tích \(V = 16\sqrt 3 \left( {d{m^3}} \right)\). Tính giá trị của a. A. a=1 (dm) B. a=2 (dm) C. a=\(2\sqrt 2 \) (dm) D. a=4 (dm) Spoiler: Xem đáp án \(S = \frac{V}{h} = \frac{{16\sqrt 3 }}{a} = \frac{1}{2}{a^2}\sin {60^o} \Leftrightarrow a = 4\left( {dm} \right)\)
Câu 105: Kí hiệu Đ là số đỉnh, C là số cạnh và M là số mặt của hình bát diện đều. Khi đó bộ (Đ; C; M) tương ứng với bộ số nào? A. (Đ; C; M)=(6; 12; 8) B. (Đ; C; M)=(12; 6; 8) C. (Đ; C; M)=(4; 6; 4) D. (Đ; C; M)=(8; 12; 6) Spoiler: Xem đáp án Hình bát diện đều có 6 đỉnh, 8 mặt, 12 cạnh.
Câu 106: Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh 3a. Biết \(AB'\) tạo với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \({30^o}\) và \(AB' = 6{\rm{a}}.\) Tính thể tích V của khối đa diện \(A'B'C'AC.\) A. \(V = \frac{{9{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(V = \frac{{3{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(V = \frac{{9{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{4}.\) D. \(V = \frac{{4{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của B’ lên (ABC). Ta có: \(\widehat {B'AH} = {30^o}.\) \(\begin{array}{l}B'H = AB.\sin {30^o} = 6{\rm{a}}.\frac{1}{2} = 30\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{\left( {3a} \right)^2}.\sin {60^o} = \frac{{9{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{4}.\\{V_{ABC.A'B'C'}} = B'H.{S_{ABC}} = 3{\rm{a}}.\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{4}\\{V_{B'.ABC}} = \frac{1}{3}.B'H.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\end{array}\) Thể tích khối đa diện \(A'B'C'AC\) là: \(\begin{array}{l}{V_{A'B'C'AC}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'ABC}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\\ = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}.\frac{{27{a^3}\sqrt 3 }}{{27}} = \frac{{9{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\)
Câu 107: Cho hình hộp \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'{\rm{D'}}\) có thể tích là 32 và I là tâm của hình hộp đó. Tính thể tích V của khối chóp I.ABC. A. \(V = 8.\) B. \(V = \frac{8}{3}.\) C. \(V = \frac{{16}}{3}.\) D. \(V = 16.\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l}{V_{I.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {J,\left( {ABCD} \right)} \right).\frac{1}{2}.{S_{ABCD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{12}}{V_{ABC{\rm{D}}.A'B'C'{\rm{D'}}}} = \frac{1}{{12}}.32 = \frac{8}{3}.\end{array}\)
Câu 108: Cho một hình đa diện. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau. A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. C. Mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh. D. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất 3 mặt. Spoiler: Xem đáp án Trong hình đa diện mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 mặt.
Câu 109: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân cạnh huyền 4a, thể tích bằng \(8{{\rm{a}}^3}.\) Tính đường cao SH của hình chóp. A. 2a B. a C. 6a D. 3a Spoiler: Xem đáp án Gọi độ dài của cạnh góc vuông là x. Ta có: \(2{{\rm{x}}^2} = {\left( {4{\rm{a}}} \right)^2} \Rightarrow x = 2\sqrt 2 a.\) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}{x^2} = \frac{1}{2}{\left( {2\sqrt 2 a} \right)^2} = 4{{\rm{a}}^2}.\) Độ dài đường cao SH của hình chóp là: \(SH = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3.8{{\rm{a}}^3}}}{{4{{\rm{a}}^2}}} = 6{\rm{a}}.\)
Câu 110: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD. A. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}}}{3}\) B. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) D. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(CA = CD = a\sqrt 2 ,AD = 2a\) Nên tam giác ACD vuông cân tại C và , suy ra \({S_{\Delta ACD}} = {a^2}\) Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Vậy \({S_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
