Câu 111: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh \(AB = a,AD = a\sqrt 2 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) góc giữa SC và đáy bằng $60^0$. Tính thể tích hình chóp S.ABCD. A. \(V = \sqrt 2 {a^3}\) B. \(V = 3\sqrt 2 {a^3}\) C. \(V = 3{a^3}\) D. \(V = \sqrt 6 {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Theo bài ra ta có, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD). \( \Rightarrow \left[ {\widehat {SC,\left( {ABCD} \right)}} \right] = \left( {\widehat {SC,AC}} \right) = \widehat {SCA} = {60^0}\) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \) Xét \(\Delta SAC\) vuông tại A, có \(\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) Ta có: \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = AC.\tan \widehat {SCA} = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\) Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3a.a.a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 2 .\)
Câu 112: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C’ sao cho \(SA' = \frac{1}{2}SA;SB' = \frac{1}{3}SB;SC' = \frac{1}{4}SC\). Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng: A. \(\frac{1}{2}\) B. \(\frac{1}{6}\) C. \(\frac{1}{{12}}\) D. \(\frac{1}{{24}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}\)
Câu 113: Khối đa diện đều loại \(\left\{ {5;3} \right\}\) có tên gọi là: A. Khối lập phương B. Khối bát diện đều C. Khối mười hai mặt đều D. Khối hai mươi mặt đều Spoiler: Xem đáp án Khối đa diện đều loại \(\left\{ {5;3} \right\}\) là khối mười hai mặt đều.
Câu 114: Trong tất cả các hình đa diện đều, hình nào có số mặt nhiều nhất? A. Hình nhị thập diện đều B. Hình thập nhị diện đều C. Hình bát diện đều D. Hình lập phương Spoiler: Xem đáp án Hình nhị thập diện đều hay còn gọi là hình 20 mặt đều là đa diện đều có số mặt nhiều nhất.
Câu 115: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, diện tích xung quanh bằng \(6\sqrt 3 {a^2}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ A. \(V = \frac{1}{4}{a^3}\) B. \(V = \frac{3}{4}{a^3}\) C. \(V = {a^3}\) D. \(V = 3{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{xq}} = 3.{S_{ABB'A'}} = 3.2a.AA' = 6\sqrt 3 {a^2} \Leftrightarrow AA' = \sqrt 3 a\) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.{\left( {2a} \right)^2}.\sin {60^0} = 2{a^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \) Thể tích của khối lăng trụ là: \(V = AA'.{S_{ABC}} = \sqrt 3 a.{a^2}\sqrt 3 = 3{a^3}\)
Câu 116: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 8. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. Tính thể tích của khối tứ diện SCMN. A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}{S_{MAD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{DAB}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}}\) \({S_{CDN}} = \frac{1}{2}{S_{CAD}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\) Tương tự: \({S_{CMB}} = \frac{1}{4}{S_{ABCD}}\) \({S_{CMN}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMN}} - {S_{CDN}} - {S_{CMB}}\) \( = {S_{ABCD}} - \frac{1}{8}{S_{ABCD}} - \frac{1}{4}{S_{ABCD}} - \frac{1}{4}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}{S_{ABCD}}\) \({V_{S.CMN}} = \frac{1}{3}h.{S_{CMN}} = \frac{1}{3}h.\frac{3}{8}{S_{ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}.8 = 3\)
Câu 117: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Tồn tại mặt cầu đi qua một đường tròn và 1 điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn. B. Nếu một điểm nằm ngoài mặt cầu thì qua điểm đó có vô số tiếp tuyến với mặt cầu và tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu. C. Nếu tất cả các mặt của một hình đa diện nội tiếp đường tròn thì hình đa diện đó nội tiếp mặt cầu. D. Tồn tại mặt cầu đi qua bốn điểm không đồng phẳng. Spoiler: Xem đáp án Ta có thể lấy ví dụ về 2 khối chóp tứ giác đều ghép lại với nhau. \(S.ABC{\rm{D}}\) và \(S'.ABC{\rm{D}}\) có tất cả các mặt nội tiếp trong 1 mặt cầu tuy nhiên đa diện này chưa chắc đã nội tiếp mặt cầu.
Câu 118: Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, \(SA = 1,\,\,SA \bot \left( {ABC} \right).\) Tính thể tích của khối chóp đã cho. A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.\) B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}.\) C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}.\) D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{.1^2}.\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\) Thể tích của khối chóp là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{4}.1 = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Câu 119: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho khối lập phương \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'{\rm{D'}}\) có \(A\left( {1; - 2;3} \right)\) và \(C'\left( {2; - 1;4} \right).\) Tính thể tích V của khối lập phương đã cho. A. \(V = 1.\) B. \(V = 3\sqrt 3 .\) C. \(V = 2\sqrt 2 .\) D. \(V = 3.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh của hình lập phương là a. \(\begin{array}{l}AC' = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 3} \right)}^2}} = \sqrt 3 .\\AC{'^2} = A{\rm{D}}{{\rm{'}}^2} + D'C{'^2} = A{{\rm{D}}^2} + {\rm{DD}}{{\rm{'}}^2} + D'C{'^2} = 3{{\rm{a}}^2}\\ \Rightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3{{\rm{a}}^2} \Rightarrow a = 1.\end{array}\) Thể tích khối lập phương là: \(V = {1^3} = 1.\)
Câu 120: Cho khối lập phương (H) có cạnh bằng 1. Qua mỗi cạnh của (H) dựng một mặt phẳng không chứa các điểm trong của (H) và tạo với hai mặt của (H) đi qua cạnh đó những góc bằng nhau. Các mặt phẳng như thế giới hạn một khối đa diện \(\left( {H'} \right).\) Tính thể tích \(\left( {H'} \right).\) A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Giả sử khối lập phương là \(ABC{\rm{D}}.A'B'C'{\rm{D}}'.\) Ta có: \({V_{(H')}} = {V_{\left( H \right)}} + 6.{V_{S.ABCD}}\) với S.ABCD là khối chóp tứ giá đền như hình vẽ. Vì tính đối xứng nên góc tạo bởi (SBC) với hai mặt (ABCD) và (BCC’B’) bằng nhau. Mà: \(\left( {ABCD} \right) \bot (BCC'B')\) nên góc taoj bởi (SBC) và (ABCD) bằng 45 độ. Suy ra: \(SH = HM = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{6}\) Vậy: \({V_{H'}} = {V_H} + 6.{V_{S.ABCD}} = 1 + 6.\frac{1}{6} = 2.\)
