Câu 121: Cho khối chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết \(OA = 1,\,\,\)\(OB = 2\) và thể tích khối chóp O.ABC bằng 3. Tính độ dài cạnh OC. A. \(\frac{3}{2}.\) B. \(\frac{9}{2}.\) C. \(9.\) D. \(3.\) Spoiler: Xem đáp án Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau nên ta có: \({V_{OABC}} = \frac{1}{6}OA.OB.OC = 3 \Rightarrow OC = \frac{{18}}{{OA.OB}} = \frac{{18}}{{1.2}} = 9.\)
Câu 122: Cho khối chóp tứ giác đều có đường cao bằng 3 và thể tích bằng 4. Tính cạnh đáy. A. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}.\) B. 2 C. 4 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Diện tích đáy là \(S = \frac{{3V}}{h} = \frac{{3.4}}{3} = 4.\) Gọi cạnh đáy là a, khi đó \(S = {a^2} = 4 \Leftrightarrow a = 2.\)
Câu 123: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, D là trung điểm BC. Biết SAD là tam giác đều và mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). A. \(\frac{{6\sqrt {13} a}}{{13}}\) B. \(\frac{{6\sqrt {13} a}}{7}\) C. \(\frac{{4\sqrt {13} a}}{7}\) D. \(\frac{{4\sqrt {13} a}}{{13}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của \(AD \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\) Ta có: \(AD = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 ;SH = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3a}}{2}\) Gọi E là trung điểm của AB. Qua H kẻ đường thẳng song song với CE, giao với AB tại I. Kẻ \(KH \bot SI\). Ta có: \(KH \bot \left( {SAB} \right)\) Ta có: \(CE = AD = a\sqrt 3 ;EG = \frac{{CE}}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3};\frac{{AH}}{{AG}} = \frac{3}{4}\) \(\frac{{HI}}{{EG}} = \frac{{AH}}{{AG}} = \frac{3}{4} \Rightarrow HI = \frac{3}{4}EG = \frac{3}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) \(\frac{1}{{K{H^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{52}}{{9{a^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{3a}}{{2\sqrt {13} }}\) Ta có \(HI = \frac{3}{4}EG = \frac{3}{4}.\frac{1}{3}CE = \frac{1}{4}CE \Rightarrow d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 4d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = 4.\frac{{3a}}{{2\sqrt {13} }} = \frac{{6a}}{{\sqrt {13} }}\)
Câu 124: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 30. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’. Tính thể tích V của khối tứ diện CIJK. A. \(V = 6\) B. \(V = 12\) C. \(V = \frac{{15}}{2}\) D. \(V = 5\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao của lăng trụ, S là diện tích đáy của lăng trụ. Ta có: \({S_{IJK}} = {S_{A'B'C'}} = S;\,\,CK = \frac{1}{2}CC' = \frac{h}{2}.\) Thể tích của khối tứ diện CIJK là \(V = \frac{1}{3}S.\frac{h}{2} = \frac{{30}}{6} = 5.\)
Câu 125: Cho hình chóp S.ABC có chiều cao bằng a, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 ,\widehat {ABC} = {60^0}\). Tính thể tích thể tích V của khối chóp? A. \(V = \frac{{{a^4}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 .\sin {60^0} = \frac{{3{a^2}}}{4}\). Thể tích của khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}a.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}a.\frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}.\)
Câu 126: Cho một hình đa diện H. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Mỗi đỉnh của H là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. B. Mỗi cạnh của H là cạnh chung của ít nhất ba mặt. C. Mỗi mặt của H có ít nhất ba cạnh. D. Mỗi đỉnh của H là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. Spoiler: Xem đáp án Mỗi cạnh của hình đa diện là cạnh chung của đúng hai mặt.
Câu 127: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB. Biết rằng \(AB = 2a,AD = DC = CB = a,\) cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBD) hợp với đáy một góc \({45^0}\). Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách d từ điểm G đến mặt phẳng (SBD). A. \(d = \frac{a}{6}\) B. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\) C. \(d = \frac{a}{2}\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Vì ABCD là hình thang cân có \(AB = 2DC\) nên \(AD \bot DB\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD \bot BD}\\{SA \bot BD}\end{array} \Rightarrow DB} \right. \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BD \bot SD\) Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SBD} \right) = BD}\\{AD \bot BD}\\{SD \bot BD}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AD,SD} \right) = ADS \Rightarrow ADS = {45^0}\end{array}\) Suy ra \(\Delta SAD\) vuông cân tại A nên \(SA = AD = a\) Trong ( SAD) kẻ \(AH \bot SD\). Khi đó \(BD \bot AH\left( {BD \bot \left( {SAD} \right)} \right)\) suy ra \(AH \bot \left( {SBD} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AH\) Trong \(\Delta SAD\) vuông tại A ta có: \(\frac{{d\left( {G,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{GI}}{{AI}} = \frac{1}{3} \Rightarrow d\left( {G,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{1}{3}d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\)\( = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{6}\)
Câu 128: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích tam giác ACD’ bằng \({a^2}\sqrt 3 \). Tính thể tích V của hình lập phương. A. \(V = 3\sqrt 3 {a^3}\) B. \(V = 2\sqrt 2 {a^3}\) C. \(V = {a^3}\) D. \(V = 8{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh của hình lập phương là x. Khi đó: \(AC = x\sqrt 2 ;AD' = x\sqrt 2 ;CD' = x\sqrt 2 \) \({S_{ACD'}} = \frac{1}{2}x\sqrt 2 .x\sqrt 2 .\sin {60^0} = \frac{{{x^2}\sqrt 2 }}{3}\). Ta có: \({S_{ACD'}} = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2} = {a^2}\sqrt 3 \) \( \Rightarrow x = a\sqrt 2 \) Vậy thể tích của hình lập phương là: \(V = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^3} = 2\sqrt 2 {a^3}.\)
Câu 129: Gọi n là số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều. Tìm n. A. \(n = 7\) B. \(n = 5\) C. \(n = 3\) D. \(n = 9\) Spoiler: Xem đáp án Bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng.
Câu 130: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(\frac{{{a^3}}}{2}\) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.a.a.\sin {60^0} = \frac{1}{4}.{a^2}\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA'\) \( = \frac{1}{4}{a^2}\sqrt 3 .a = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\)
