Câu 131: Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C',\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh x. Hình chiếu của đỉnh \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm của \(\Delta ABC,\) cạnh \(AA' = 2x.\) Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A. \(\frac{{{x^3}\sqrt {11} }}{4}.\) B. \(\frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\frac{{{x^3}\sqrt {11} }}{{12}}.\) D. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G tâm giác ABC. Ta có: \(AG = \frac{{x\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow A'G = \sqrt {A'{A^2} - A{G^2}} \) \( = \sqrt {4{x^2} - \frac{{{x^2}}}{3}} = \frac{{x\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow V = \frac{{x\sqrt {11} }}{{\sqrt 3 }}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^3}\sqrt {11} }}{4}.\)
Câu 132: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó thể tích hình chóp bằng: A. \(\frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{6}.\) B. \(\frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(\frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\) D. \(\frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi K là trung điểm của CD. Khi đó: \({S_{xq}} = 4{S_{SC{\rm{D}}}};\,\,{S_d} = {x^2}.\) Khi đó: \(4.\frac{1}{2}SK.x = 2{{\rm{x}}^2} \Leftrightarrow SK = x \Rightarrow SH = \sqrt {S{K^2} - H{K^2}} = \frac{{x\sqrt 3 }}{2}.\) \(Suy\,\,ra\,\,{V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2}.{x^2} = \frac{{{x^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
Câu 133: Một đứa trẻ dán 42 hình lập phương cạnh 1cm lại với nhau vừa đủ xung quanh mặt của một khối hộp chữ nhật tạo thành một khối hộp mới. Nếu chu vi đáy là 18cm thì chiều cao của khối hình hộp lúc này là bao nhiêu? A. 6cm B. 3cm C. 7cm D. 2cm Spoiler: Xem đáp án Diện tích xung quanh của hình hộp sau khi dán là 42 cm2. Khi đó: \({S_{xq}} = {C_d}.h \Rightarrow h = 3\,\,cm\) (Cd chu vi đáy hình hộp).
Câu 134: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x, \(\widehat {BA{\rm{D}}} = {60^o},\) gọi \(I = AC \cap B{\rm{D}}.\) Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là H sao cho H là trung điểm của BI. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng \({45^o}.\) Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD bằng: A. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{12}}.\) B. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{24}}.\) C. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{36}}.\) D. \(\frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{48}}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\widehat {SCH} = {45^o}.\) Dễ thấy tam giác ABD đều, khi đó: \(\begin{array}{l}AI = IC = \frac{{x\sqrt 3 }}{2};\,\,{S_{ABC{\rm{D}}}} = 2{{\rm{S}}_{AB{\rm{D}}}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}.\\IH = \frac{1}{4}B{\rm{D}} = \frac{x}{4}\,\,suy\,\,ra\,\,HC = \sqrt {I{H^2} + I{C^2}} = \frac{{x\sqrt {13} }}{4}.\\Suy\,\,ra\,\,SH = HC = \frac{{x\sqrt {13} }}{4} \Rightarrow V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{{{x^3}\sqrt {39} }}{{24}}.\end{array}\)
Câu 135: Cho hình chóp \(S.ABC\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\), \(\Delta ABC\)vuông cân, \(AB = BC = a\), \(B'\) là trung điểm của \(SB\), \(C'\) là chân đường cao hạ từ \(A\)của \(\Delta SAC\). Thể tích của \(S.AB'C'\) là: A. \(\frac{{{a^3}}}{9}\). B. \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\). C. \(\frac{{{a^3}}}{{36}}\). D. \(\frac{{{a^3}}}{{27}}\). Spoiler: Xem đáp án Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(AB = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 \). Tam giác \(SAC\)vuông tại \(A\) và có \(AC'\) là đường cao nên \(\frac{{A{S^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{S\,C'}}{{CC'}} \Rightarrow \frac{{S\,C'}}{{CC'}} = \frac{{{a^2}}}{{2{a^2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{3}\). Ta có: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC = \frac{{{a^3}}}{6}\). \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.AB'C'}}}} = \frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{1}{6}\) suy ra \({V_{S.AB'C'}} = \frac{{{a^3}}}{{36}}\).
Câu 136: Cho hình chóp tam giác đều\(S.ABC\), cạnh đáy bằng \(a\),\(\widehat {{\rm{AS}}B} = {60^0}\). Thể tích của khối chóp\(S.ABC\)là A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\). B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\). C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\). D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi\(M\)là trung điểm của\(BC\),\(H\)là trọng tâm\(\Delta ABC\)nên\(AH = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\) \( \Rightarrow SH = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
Câu 137: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = 3a\), \(BC = 4a\), \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\), \(SB = 2a\sqrt 3 \), \(\widehat {SBC} = {30^ \circ }\). Thể tích của \(S.ABC\) là: A. \(2{a^3}\sqrt 3 \). B. \(\frac{2}{3}{a^3}\sqrt 3 \). C. \(3{a^3}\sqrt 3 \). D. \(\frac{1}{3}{a^3}\sqrt 3 \). Spoiler: Xem đáp án Trong mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(SH \bot BC\) tại \(H\). Do \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Vậy: \(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}SB.\sin \widehat {SBH}.\frac{1}{2}.BA.BC\\ = \frac{1}{3}2a\sqrt 3 .\sin {30^ \circ }.\frac{1}{2}.3a.4a = 2{a^3}\sqrt 3 \end{array}\).
Câu 138: Cho hình chóp \(S.ABC\) đáy là tam giác \(ABC\)vuông cân tại \(B\), \(AC = 2a\), \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\),\(I \in SB\) sao cho \(SI = \frac{1}{3}SB\). Thể tích của khối chóp \(S.ACI\)là A. \(\frac{{{a^3}}}{3}\). B. \(\frac{{{a^3}}}{6}\). C. \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\). D. \(\frac{{{a^3}}}{9}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{S.ACI}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.ACI}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^3}}}{9}.\)
Câu 139: Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích bằng \(48\). Tính thể tích phần chung của hai khối chóp \(A.B'CD'\) và \(A'.BC'D\). A. \(10\). B. \(12\). C. \(8\). D. \(6\). Spoiler: Xem đáp án Gọi \(O,O',M,N,P,Q\) lần lượt là tâm của các hình chữ nhật \(ABCD,\) \(A'B'C'D',\)\(A'B'BA,\)\(BB'C'C,\)\(CC'D'D,\)\(AA'D'D\). Ta có phần chung của hai khối chóp \(A.B'CD'\) và \(A'.BC'D\) là bát diện \(OMNPQO'\). Ta có tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi nên \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}NQ.MP = \frac{1}{2}AB.AD\). Suy ra thể tích bát diện \(OMNPQO'\)là: \({V_{OMNPQO'}} = 2{V_{O'.MNPQ}} = \frac{2}{3}.{S_{MNPQ}}.\frac{1}{2}AA' = \frac{1}{6}AB.AD.AA' = \frac{1}{6}.48 = 8\)
Câu 140: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA = 2a\), \(SA \bot (ABC)\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(SA\), \(SB\) và \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SC\). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.MNP\). A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{30}}{a^3}\). B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}\). C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{15}}{a^3}\). D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^3}\). Spoiler: Xem đáp án Xét tam giác\(SAB\)vuông tại \(A\)có \(AP\)là đường cao, ta có: \(S{A^2} = SP.SB \Rightarrow \frac{{SP}}{{SB}} = {\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)^2} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{4}{5}\). \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} \cdot \frac{{SP}}{{SB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\) (1) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\) (2) Từ (1) và (2): \({V_{S.MNP}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{30}}\)
