Câu 141: Cho khối chóp \(S.ABCD\), hỏi hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành mấy khối chóp? A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 Spoiler: Xem đáp án Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành mấy khối chóp thành 4 khối chóp là các khối chóp sau \(S.ABO\), \(S.ADO\), \(S.CDO\), \(S.BCO\).
Câu 142: Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\) . Gọi \(I\) ; \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AA'\) ; \(BB'\). Tính thể tích khối đa diện \(ABCIKC'\) theo \(V\)? A. \(\frac{{3V}}{5}\). B. \(\frac{V}{3}\). C. \(\frac{{2V}}{3}\). D. \(\frac{{4V}}{5}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{ABCIKC'}} = V - {V_{C'A'B'KI}} = V - \frac{1}{2}{V_{C'A'B'BA}} = V - \frac{1}{2}\left( {V - {V_{C'CAB}}} \right) = V - \frac{1}{2}\left( {V - \frac{1}{3}V} \right) = \frac{{2V}}{3}.\)
Câu 143: Một khối lăng trụ có chiều cao bằng \(2a\), diện tích đáy bằng \(2{a^2}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ: A. \(V = 4{a^3}\). B. \(V = \frac{4}{3}{a^3}\). C. \(V = \frac{4}{3}{a^2}\). D. \(V = \frac{2}{3}{a^3}\). Spoiler: Xem đáp án Ta có \(V = S.h = 2{a^2}.2a = 4{a^3}\).
Câu 144: Cho hình chóp S.ABC có \(SC = 2a,SC \bot \left( {ABC} \right)\). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có \(AB = a\sqrt 2 \). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua C và vuông góc với SA, cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE. A. \(\frac{{4{a^3}}}{9}\) B. \(\frac{{2{a^3}}}{3}\) C. \(\frac{{2{a^3}}}{9}\) D. \(\frac{{{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{AB \bot SC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot CE\) Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CE \bot AB}\\{CE \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow CE \bot \left( {SAB} \right)\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(S{C^2} = SE.SB \Rightarrow \frac{{SE}}{{SB}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}}\), tương tự \(\frac{{SD}}{{SE}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}}\) Lại cả \(CA = AC\sqrt 2 = 2a;{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SC.{S_{ABC}} = \frac{2}{3}{a^3}\) Khi đó \(\frac{{{V_{S.CDE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}\frac{{SD}}{{SA}} = \frac{{S{C^2}}}{{S{B^2}}}.\frac{{S{C^2}}}{{S{A^2}}} = \frac{4}{6}\frac{4}{8} = \frac{1}{3}\) Do đó \({V_{S.CDE}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}{a^3} = \frac{{2{a^3}}}{9}\).
Câu 145: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có \(AA' = a\sqrt 3 \). Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B. Cho biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng (BCC’B’) bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(3{a^3}\) B. \({a^3}\) C. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\) D. \(\frac{{{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(d\left( {I;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = a\sqrt 3 \) Kẻ \(AP \bot BC\left( {P \in BC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AP \Rightarrow AP = a\sqrt 3 \) Lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C' \Rightarrow A'A \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\Delta ABC\) đểu \( \Rightarrow \sin {60^0} = \frac{{AP}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = \frac{{2AP}}{{\sqrt 3 }} = 2a\) \( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = A'A.{S_{ABC}} = A'A.\frac{1}{2}A{B^2}\sin {60^0} = 3{a^3}\)
Câu 146: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\). A. \(\frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) B. \(\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\) C. \(\frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) D. \(2\sqrt 3 {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm cạnh AD khi đó \(SH = a\sqrt 3 \) và \(SH \bot AD\). Mặt khác \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\). Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). Dựng \(HK \bot BC\) suy ra \(\left( {SKH} \right) \bot BC\) Do đó \(\left( {\widehat {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)}} \right) = \widehat {SKH} = {30^0}\) . Khi đó \(HK\tan {30^0} = SH = a\sqrt 3 \Rightarrow HK = 3a = AB\) Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = 2{a^3}\sqrt 3 .\)
Câu 147: Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của tất cả bao nhiêu mặt? A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 Spoiler: Xem đáp án Trong một hình đa diện lồi, mỗi cạnh là cạnh chung của 2 mặt.
Câu 148: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có độ dài đường chéo \(A{C'} = \sqrt {18} .\) Gọi S là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật này. Tính giá trị lớn nhất của S. A. \({S_{\max }} = 18\sqrt 3 .\) B. \({S_{\max }} = 36.\) C. \({S_{\max }} = 18.\) D. \({S_{\max }} = 36\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Giả sử độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật đó là a, b, c. Độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật là:\(AC' = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = \sqrt {18} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 18\) Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là: \(S = 2{\rm{a}}b + 2bc + 2ca \le {a^2} + {b^2} + {b^2} + {c^2} + {c^2} + {a^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 36.\)
Câu 149: Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh \(SA = BC = 5{\rm{a}},\,\,\)\(SB = AC = 6{\rm{a}},\,\,SC = AB = 7{\rm{a}}.\) A. \(V = 2\sqrt {105} {a^3}.\) B. \(V = \frac{{35}}{2}{a^3}.\) C. \(V = \frac{{35\sqrt 2 }}{2}{a^3}.\) D. \(V = 2\sqrt {95} {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Với tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau \(AB = C{\rm{D}} = a,\,\,AC = B{\rm{D}} = b,\,\,A{\rm{D}} = BC = c\) thì công thức tính nhanh thể tích tứ diện là: \(V = \frac{1}{{6\sqrt 2 }}\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)} .\) Áp dụng vào tứ diện S.ABC ta có: \(V = 2\sqrt {95} {a^3}.\)
Câu 150: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC{\rm{D}}.{A'}{B'}{C'}{{\rm{D}}'}\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, đường chéo \(A{B'}\) của mặt bên \(\left( {AB{B'}{A'}} \right)\) có độ dài bằng 5. Tính thể tích V của khối lăng trụ \(ABC{\rm{D}}.{A'}{B'}{C'}{{\rm{D}}'}.\) A. \(V = 36.\) B. \(V = 48.\) C. \(V = 18.\) D. \(V = 45.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(BB' = \sqrt {AB{'^2} - A{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4 \Rightarrow V = BB'.{S_{ABC{\rm{D}}}} = {4.3^2} = 36.\)
