Câu 151: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SB = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\) C. \(V = {a^3}\sqrt 2 .\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}a\sqrt 2 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
Câu 152: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. E là trung điểm của B’C’, CB’ cắt BE tại M. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết \(AB = 3a,AA' = 6a.\) A. \(V = 6{a^3}\) B. \(V = 6\sqrt 2 {a^3}\) C. \(V = 8{a^3}\) D. \(V = 7{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 3a\sqrt 2 \) Gọi O là giao điểm của B’C va BC’. Khi đó: \(CM = CO + OM = \frac{1}{2}CB' + \frac{1}{3}OB' = \frac{1}{2}CB' + \frac{1}{2}.\frac{1}{3}CB' = \frac{2}{3}CB'\) Ta kẻ MH vuông góc với CB. Khi đó \(\Delta CHM \sim \Delta CBB' \Rightarrow \frac{{HM}}{{BB'}} = \frac{{CM}}{{CB'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow HM = \frac{2}{3}BB' = 4a\) Diện tích tam giacs CMB là: \({S_{\Delta CMB}} = \frac{1}{2}CB.HM = \frac{1}{2}.3a.\sqrt 2 .4a = 6{a^2}\sqrt 2 \) \( \Rightarrow {V_{A.BCM}} = \frac{1}{3}.AB.{S_{\Delta CMB}} = \frac{1}{3}.3a.6{a^2}\sqrt 2 = 6{a^3}\sqrt 2 .\)
Câu 153: Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và \(OA = 2a,OB = 3a,OC = 8a\). M là trung điểm của OC. Tính thể tích V của khối tứ diện O.ABM. A. \(V = 6{a^3}\) B. \(V = 8{a^3}\) C. \(V = 3{a^3}\) D. \(V = 4{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Do OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA, OB, OM cũng đôi một vuông góc. Ta có: \(OM = \frac{1}{2}OC = 4a.\) O.ABM có các cạnh bên đôi một vuông góc nên có thể tích: \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = 4{a^3}.\)
Câu 154: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết thể tích của khối lăng trụ là \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC là: A. \(\frac{{2a}}{3}\) B. \(\frac{{3a}}{2}\) C. \(\frac{{4a}}{3}\) D. \(\frac{{3a}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm BC. Có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM \bot BC}\\{A'G \bot BC}\end{array} \Rightarrow CB \bot \left( {AA'M} \right)} \right.\) Trong \(\left( {AA'M} \right)\) dựng \(MH \bot AA' \Rightarrow MH\) là đường vuông góc chung của AA’ và BC. Có \({V_{lt}} = {S_d}.A'G \Rightarrow A'G = \frac{V}{S} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{4.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = a \Rightarrow AA' = \sqrt {A'{G^2} + A{G^2}} = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\) Xét tam giác AA’M có: \(A'G.AM = MH.AA' \Rightarrow HM = \frac{{AG.AM}}{{AA'}} = \frac{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}}} = \frac{{3a}}{4}\)
Câu 155: Cho hình chóp tứ giác đều A.ABCD, cạnh đáy \(AB = 2a\sqrt 3 ,\) mặt bên tạo với đáy góc \({60^0}.\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = 12{a^3}\) B. \(V = 8{a^3}\) C. \(V = 9{a^3}\) D. \(V = 12\sqrt 3 {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm CD, khi đó \(\left( {\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,OM} \right) = SMO = {60^0}\) \( \Rightarrow SO = OM.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a\) \(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}{\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.3a = 12{a^3}\)
Câu 156: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có cạnh BC=2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng \({60^0}.\) Biết diện tích của tam giác (A’BC) bằng \(2{a^2}.\) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = 3{a^3}.\) B. \(V = {a^3}\sqrt 3 .\) C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của A trên \(BC \Rightarrow AH \bot BC.\) Ta có \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot BC\)và \(AH \bot BC \Rightarrow BC \bot (A'AH)\) Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (A'AH) = AH\\(A'BC) \cap (A'AH) = A'H\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {((ABC);(A'BC))} = \widehat {A'HA} = {60^0}.\) Diện tích \(\Delta A'BC\) là \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}.A'H.BC \Rightarrow A'H = \frac{{2.{S_{\Delta A'BC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{{2a}} = 2a.\) Xét \(\Delta A'AH\) vuông tại A, có \(\sin \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{A'H}} \Rightarrow AA' = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 .\) Và \(AH = \sqrt {A'{H^2} - A'{A^2}} = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = {a^3}.\) Vậy thể tích lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.a{}^2\sqrt 3 = {a^3}\sqrt 3 .\)
Câu 157: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A và \(AB = AC = a\sqrt 2 .\) Tam giác SBC có diện tích bằng \(2{a^2}\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}.\) C. \(V = 2{a^3}.\) D. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\) và S nằm trên cạnh BC. Xét \(\Delta ABC\) vuông cân tại A, có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a\) mà \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2}.SH.BC.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow SH = \frac{{2.{S_{\Delta SBC}}}}{{BC}} = \frac{{2.2{a^2}}}{{2a}} = 2a\\ \Rightarrow V{}_{S.ABC} = \frac{1}{3}.SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = \frac{{2{a^3}}}{3}.\end{array}\)
Câu 158: Cho khối chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0},\) độ dài các cạnh \(SA = a,SB = \frac{{3a}}{2},SC = 2a.\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi B’, C’ lần lượt thuộc SB, SC sao cho SB=SC=a. Khối chóp S.ABC có \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}\) và SA=SB=SC. Suy ra S.ABC là tứ diện đều cạnh \(a \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\) Vậy \(\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 3{V_{S.AB'C'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)
Câu 159: Cho hình tứ diện đều và hình bát diện đều cùng có cạnh bằng a. Gọi \({S_1}\) là diện tích toàn phần của hình tứ diện đều và \({S_2}\)là diện tích toàn phần của hình bát diện đều. Tính tỉ số \(k = \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\) A. \(k = \frac{1}{4}.\) B. \(k = \frac{1}{3}.\) C. \(k = \frac{1}{2}.\) D. \(k = \frac{3}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{4.{S_0}}}{{8.{S_0}}} = \frac{1}{2}\) (với \({S_0}\) là diện tích một mặt do các mặt đều là các tam giác đều cạnh a).
Câu 160: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a, tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC. A. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) B. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) C. \(d =a\sqrt{6}\) D. \(d =a\sqrt{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi D là trung điểm của BC Suy ra SD vuông góc với đáy (ABC) \(BC \bot AD;BC \bot SD \Rightarrow BC \bot (SDA) \Rightarrow BC \bot DM\) (M là chân đường cao kẻ từ D xuống SA) Suy ra DM chính là đoạn vuông góc với cả 2 đoạn BC và SA nên DM chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SA. Xét tam giác vuông SDA ta có: AD=a; \(SD = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.2a = \sqrt 3 a\) \(\frac{1}{{D{M^2}}} = \frac{1}{{S{D^2}}} + \frac{1}{{D{A^2}}} \Rightarrow DM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
