Câu 161: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB=2a, AD=a. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc \(45^0\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\) D. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Góc giữa SC và (ABCD) là \(\widehat{SCH}=45^0\) Do đó tam giác SCH vuông cân tại H. Suy ra \(SH=CH=\sqrt {{a^2} + {a^2}} = \sqrt 2 a\) Vậy thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}a.2a.\sqrt 2 a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{a^3}\)
Câu 162: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A’B=2a, đáy ABC là tam giác đều, góc giữa đường thẳng A’B và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V=a^3\) B. \(V=3a^3\) C. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\) D. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Góc giữa A’B và (ABC) chính là \(\widehat {A'BA}{\rm{ = }}{60^o}\) Xét tam giác A’BA vuông tại A có \(\widehat {A'BA}{\rm{ = }}{60^o}\) và A’B=2a Suy ra \({\rm{AA}}' = \sqrt 3 a;AB = a\) Vậy: \(V = AA'.{S_{ABC}} = \sqrt 3 a.\frac{1}{2}{a^2}.\sin {60^0} = \frac{{3{a^3}}}{4}.\)
Câu 163: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có \(AB=a\sqrt{5}\) đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. A. \(V=4a^3\) B. \(V=2a^3\) C. \(V=3a^3\) D. \(V=a^3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AB{'^2} = A{B^2} + BB{'^2} \Leftrightarrow 5{a^2} = {a^2} + BB{'^2}\) \(\Rightarrow BB' = 2a \Rightarrow V = {S_{ABCD}}.BB' = {a^2}.2a = 2{a^3}\)
Câu 164: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA=2a và tam giác ABC đều cạnh a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V=3a^3\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = {a^3}\sqrt 3\) D. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{SABC}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.a = \frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}.\)
Câu 165: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, thể tích khối chóp là \(a^3\). Tính chiều cao h của hình chóp. A. \(h=a\) B. \(h=2a\) C. \(h=3a\) D. \(h=4a\) Spoiler: Xem đáp án Chiều cao của hình chóp là: \(h = \frac{{3V}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a.\)
Câu 166: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. \(V = \frac{{27}}{8}{a^3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\) C. \(V = \frac{3}{2}{a^3}\) D. \(V = \frac{9}{4}{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của F lên mặt phẳng \(A'B'C'D'E'F'\). Ta có: \(FH = FF'\sin 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi O là tâm của hình lục giác đều ABCDEF khi đó \({S_{ABCDEF}} = 6.{S_{OAB}} = 6.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Thể tích của khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABCDEF}}.FH = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}}}{4}\)
Câu 167: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích \(V = \frac{{\sqrt 2 }}{6}.\) Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Biết \(SB\perp SD\). Tính khoảng cách d từ điểm B đến mặt phẳng (MAC). A. \(d = \frac{1}{2}.\) B. \(d = \frac{2}{\sqrt{3}}.\) C. \(d = \frac{3}{4}.\) D. \(d = \frac{1}{\sqrt{2}}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là giao điểm của AC và BD. \(\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) Giả sử cạnh của hình vuông ABCD là a \(\Rightarrow BD = a\sqrt 2 \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\) Khi đó: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{\sqrt 2 }}{6} \Rightarrow a = 1.\) Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt OD tại H. \(\Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right).\) Kẻ \(HK\perp MO\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot HO\\ AC \bot {\rm{S}}O \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SOH} \right)\) \(\Rightarrow AC \bot HK\) mà \(HK \bot OM \Rightarrow HK \bot \left( {MAC} \right)\) Ta có: \(OH = \frac{1}{4}BD = \frac{{\sqrt 2 }}{4};\,\,MH = \frac{1}{2}SO = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\) \(\Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{O^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} = 16 \Rightarrow HK = \frac{1}{4}.\) Ta có: \(d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {MAC} \right)} \right) = 2HK = \frac{1}{2}.\)
Câu 168: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của đỉnh A’ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh BC. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’M với mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{8}.\) B. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}.\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có MH là hình chiếu của A’M trên (ABC). Suy ra \(\widehat {\left( {{A'}M,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {{A'}M,MH} \right)} = \widehat {{A'}MH} = {60^0}.\) Xét tam giác A’MH vuông tại H, có \(\tan \widehat {A'MH} = \frac{{A'H}}{{MH}} \Rightarrow A'H = \tan {60^o}\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{8}.\)
Câu 169: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AC=5a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = 4\sqrt 2 {a^3}.\) B. \(V = 2\sqrt 2 {a^3}.\) C. \(V = 2 {a^3}.\) D. \(V = 6\sqrt{2} {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\ \left( {SAD} \right) \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = SA \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right).\) Lại có: \(\widehat {\left( {SB,\left( {ABC{\rm{D}}} \right)} \right)} = \widehat {SBA} \Rightarrow \widehat {SBA} = {60^o}.\) \(\Rightarrow \tan {60^o} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow SA = AB\sqrt 3 = a\sqrt 3 .\) Mà \(B{C^2} = A{C^2} - A{B^2} = 25{a^2} - {a^2} \Rightarrow BC = 2a\sqrt 6 .\) \(\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .2a\sqrt 6 = 2{a^3}\sqrt 2 .\)
Câu 170: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AB=a, BC=2a chiều cao \(SA = a\sqrt 6 .\) Tính thể tích V của khối chóp. A. \(V = 2{a^3}\sqrt 6 .\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\) C. \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\) \(\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 6 .\frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}.\)
