Câu 171: Tìm số cạnh ít nhất của hình đa diện có 5 mặt. A. 6 cạnh B. 7 cạnh C. 8 cạnh D. 9 cạnh Spoiler: Xem đáp án Ta có: mỗi mặt của đa diện có ít nhất 3 cạnh (khi mặt là tam giác) và mỗi cạnh của đa diện là cạnh chung của 2 mặt. Khi đó một khối đa diện n mặt có ít nhất \(\frac{3n}{2}\) cạnh. Với n=5⇒ số cạnh \(\ge \frac{{15}}{2} = 7,5.\)
Câu 172: Cho hình chóp S.ABC có $\widehat {ASB} = \widehat {CSB} = {60^0},\widehat {ASC} = {90^0},SA = SB = SC = a$.Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). A. \(d = 2a\sqrt 6\) B. \(d = a\sqrt 6\) C. \(d = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy. Ta có: Tam giác BSC, ASB đều nên \(AB = BC = a,AC = a\sqrt 2\) Do dó tam giác ABC vuông tại B. Hình chiếu của S lên đáy là trung điểm của AC. Dựng \(HE \bot BC;HF \bot SE\). Do \(AC = 2HC\) nên \(d\left( {A,(SBC)} \right) = 2d\left( {H,(SBC)} \right) = 2HF = \frac{{HE.SH}}{{\sqrt {H{E^2} + S{H^2}} }}\) Trong đó \(HE = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Do đó \({d_A} = 2HF = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 173: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}}}{4}.\)
Câu 174: Hình nào sau đây không có tâm đối xứng? A. Hình lập phương B. Hình hộp C. Tứ diện đều D. Hình bát diện đều Spoiler: Xem đáp án Trong các hình kể trên, tứ diện đều không có tâm đối xứng.
Câu 175: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC khi đó ta có \(A'G \bot BC\) và \(AM \bot BC\) do đó \(BC \bot \left( {A'AM} \right).\) Từ M dựng \(MH \bot AA'\) suy ra MH là đoạn vuông góc chung của BC và AA’ Suy ra \(MH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) Do đó \(d\left( {G;AA'} \right) = \frac{2}{3}d\left( {M;\left( {AA'} \right)} \right) \ (do \ GA = \frac{2}{3}MA)\) \(= \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} = d \Rightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{G{A^2}}} + \frac{1}{{A'{G^2}}} \Rightarrow A'G = \frac{a}{3}\) Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'G = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Câu 176: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{2}{3}\). Tình thể tích V’ khối đa diện ABC.MNP. A. \(V' = \frac{2}{3}V\) B. \(V' = \frac{9}{{16}}V\) C. \(V' = \frac{{20}}{{27}}V\) D. \(V' = \frac{{11}}{{18}}V\) Spoiler: Xem đáp án Gọi K là hình chiếu của P trên AA’. Khi đó \({V_{ABC.KPN}} = \frac{2}{3}V\) \({V_{M.KPN}} = \frac{1}{3}MK.{S_{KNP}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{6}AA'{S_{ABC}} = \frac{1}{{18}}V\) Do đó: \({V_{ABC.MNP}} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{{18}}V = \frac{{11}}{{18}}V.\)
Câu 177: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng \(\sqrt{3}a\). Tính thể tích V khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) B. \(V = 4\sqrt 3 {a^3}\) C. \(V = \sqrt 3 {a^3}\) D. \(V = \frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có \(AB//CD \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right)\) \(\Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = 2.d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 3\) Gọi M là trung điểm của AB, kẻ \(OK \bot SM\left( {K \in SM} \right)\) Khi đó \(OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Xét tam giác SMO vuông tại M, có \(\frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} \Rightarrow SO = a\sqrt 3\) Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}{a^3}.\)
Câu 178: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,\(AB = \sqrt 5 a,AC = a\) . Cạnh SA=3a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V khối chóp S.ABC. A. \(V = {a^3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 5 }}{2}{a^3}\) C. \(V = 2{a^3}\) D. \(V = 3{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = 2a.\) Do đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}3a.\frac{{2{a^2}}}{2} = {a^3}.\)
Câu 179: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện. A. B. C. D. Spoiler: Xem đáp án Khối đa diện được giới hạn bởi hữu hạn đa giác thỏa mãn điều kiện: (i) Hai đa giác bất kì không có điểm chung, hoặc có một điểm chung hoặc có chung một cạnh. (ii) Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Hình C không thỏa điều kiện (ii) nên không phải đa diện.
Câu 180: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt 3 }}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 3 }}.\) C. \(V = \sqrt 3 {a^3}.\) D. \(V = 3\sqrt 3 {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABCD}} = {a^2}; SA = AB.\tan {60^{\rm{o}}} = a\sqrt 3\) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt 3 }}\)
