Câu 181: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằnga, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB, cạnh \(AA' = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\). Tính theo a tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\) B. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\) C. \(V =\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\) D. \(V =\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\) Spoiler: Xem đáp án H là trung điểm của AB và AB=a nên \(AH = \frac{a}{2}\). Trong \(\Delta AA'H\)có: \(A'H = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {\frac{{10{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{3a}}{2}.\) Suy ra \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
Câu 182: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính khoảng cách h từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BC). A. \(h = 2a\sqrt {\frac{7}{3}} .\) B. \(h = a\sqrt {\frac{{33}}{7}} .\) C. \(h = \frac{{2a\sqrt 3 }}{7}.\) D. \(h = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\) Spoiler: Xem đáp án Trong (ABC): Kẻ \(AI\perp BC\) suy ra \(AI =\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Trong (AA’I) Kẻ \(AO \bot A'I.\) Khi đó \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AO.\) Ta có \(\frac{1}{{A{O^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
Câu 183: Tính thể tích của khối đa diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của một tứ diện đều cạnh a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}.\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}.\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Đa diện đều đó là khối bát diện đều cạnh \(\frac{a}{2}\). Chia khối bát diện đều thành hai hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng \(\frac{a}{2}\). Ta tìm được thể tích của khối bát diện đều đó là: \(V = 2.\frac{1}{3}.{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{24}}\).
Câu 184: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(a^3.\) Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy, biết đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách d giữa SA và CD. A. \(d = 2\sqrt 3 a.\) B. \(d = \sqrt 3 a.\) C. \(d = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\) D. \(d = \frac{a}{2}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là trung điểm của AB, tam giác SAB đều \(\Rightarrow SA \bot AB \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\) \(\Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = {a^3} \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2{a^2}\sqrt 3\) Gọi H là hình chiếu của C lên AB suy ra \(CH \bot AB\) Mà \(SO \bot CH\) nên ta được \(CH \bot \left( {SAB} \right)\) Xét tam giác ABC có diện tích \(S = {a^2}\sqrt 3 \Rightarrow d\left( {C;AB} \right) = \frac{{2S}}{{AB}} = 2a\sqrt 3\) Mặt khác \(CD//\left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {SA;CD} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right) = 2a\sqrt 3 .\)
Câu 185: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh \(AA' = 1,AB = 2,AD = 3.\) Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A’BD). A. \(d = \frac{{49}}{{36}}.\) B. \(d = \frac{{9}}{{13}}.\) C. \(d = \frac{{7}}{{6}}.\) D. \(d = \frac{{6}}{{7}}.\) Spoiler: Xem đáp án Dựng \(AK \bot BD,K \in BD\) mà \(AA' \bot BD\) suy ra \(BD \bot \left( {AA'K} \right)\). Dựng \(AH \bot A'K,H \in A'K\) mà \(AH \bot BD\) suy ra \(AH \bot \left( {A'BD} \right)\) nên \(d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right) = AH\) Ta có tam giác ABD vuông tại A, đường cao AK nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}}\) Ta có tam giác AA’K vuông tại A, đường cao AH nên \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}}\) Suy ra \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{{A'}^2}}}\) Suy ra \(AH = \frac{6}{7}.\)
Câu 186: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SC. Biết thể tích khối tứ diện S.ABI là V. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. A. \({V_{S.ABCD}} = 8V.\) B. \({V_{S.ABCD}} = 4V.\) C. \({V_{S.ABCD}} = 6V.\) D. \({V_{S.ABCD}} = 2V.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({V_{SABCD}} = 2{V_{SABC}}\) Mặt khác \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SABI}}}} = \frac{{SC}}{{SI}} = 2 \Rightarrow {V_{SABC}} = 2{V_{SABI}} = 2V\) Vậy \({V_{SABCD}} = 4V.\)
Câu 187: Một khối lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a, có cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^0.\) Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. \(V = \frac{{{a^2}b}}{4}.\) B. \(V = \frac{{{a^2}b}}{8}.\) C. \(V = \frac{{{3a^2}b}}{8}.\) D. \(V = \frac{{{a^2}b\sqrt 3 }}{8}.\) Spoiler: Xem đáp án Chiều cao của lăng trụ là \(h = \cos {60^o}.b = \frac{6}{2}\) Thể tích lăng trụ là \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{b}{2} = \frac{{a{b^2}\sqrt 3 }}{8}.\)
Câu 188: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài đường chéo AC’ bằng 6. Hỏi thể tích của khối hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. \(8.\) B. \(8\sqrt 2.\) C. \(16\sqrt 2.\) D. \(24\sqrt 3\). Spoiler: Xem đáp án Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a, b, c>0. Ta có: \(\begin{array}{l} A{{C'}^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 36;S = 2ab + 2bc + 2ca = 36\\ \Rightarrow AC{'^2} + S = {(a + b + c)^2} = 72\\ \Rightarrow a + b + c = 6\sqrt 2 \end{array}\) \(\frac{{a + b + c}}{3} \ge \sqrt[3]{{abc}} \Rightarrow abc \le {\left( {\frac{{a + b + c}}{3}} \right)^3} = {\left( {\frac{{6\sqrt 2 }}{3}} \right)^3} = 16\sqrt 2\) Vậy \({V_{Max}} = 16\sqrt 2 .\)
Câu 189: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37 cm; 3 cm; 30 cm và biết tổng diện tích các mặt bên là \(480\,c{m^2}\). Tính thể tích V của lăng trụ đó. A. \(V = 2160c{m^3}\) B. \(V = 360c{m^3}\) C. \(V = 720c{m^3}\) D. \(V = 1080c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Nửa chu vi đáy: \(p = \frac{{37 + 13 + 30}}{2} = 40\). Diện tích đáy là: \(S = \sqrt {40.(40 - 37).(40 - 13).(40 - 30)} = 180c{m^2}\) Gọi x là độ dài chiều cao của lăng trụ. Vì các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật nên ta có: \({S_{xq}} = 13.x + 37.x + 30.x = 480 \Rightarrow x = 6\) Vậy thể tích của lăng trụ là: \(V = 6.180 = 1080c{m^3}\)
Câu 190: Từ một mảnh giấy hình vuông cạnh là 4 cm, người ta gấp nó thành bốn phần đều nhau rồi dựng lên thành bốn mặt xung quanh của hình hình lăng trụ tứ giác đều như hình vẽ. Hỏi thể tích của khối lăng trụ này là bao nhiêu. A. \(4(cm^3).\) B. \(16(cm^3).\) C. \(\frac{4}{3}(cm^3).\) D. \(\frac{64}{3}(cm^3).\) Spoiler: Xem đáp án Đáy là hình vuông có cạnh bằng 1 nên diện tích đáy: \(S = 1c{m^2}\). Thể tích lăng trụ là: \(V = S.h = 4c{m^3}.\)
