Câu 11: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, AA’=2a. Lấy M là trung điểm của CC’. Tính \({V_{MABC}}.\) A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) (đvtt) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) (đvtt) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\) (đvtt) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Nhận xét: Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ đều nên đáy ABC là tam giác đều, các cạnh bên của hình lăng trụ là các đường cao của hình lăng trụ đó. \( \Rightarrow MC \bot mp(ABC).\) Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp suy ra: \({V_{MABC}} = \frac{1}{3}.MC.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) (đvtt)
Câu 12: Cho một khối lập phương có thể tích là \({a^3}.\) Nếu mỗi cạnh của hình lập phương tăng gấp 2 lần thì thể tích của khối lập phương mới bằng bao nhiêu? A. \(2{a^3}\)(đvtt) B. \(4{a^3}\) (đvtt) C. \(8{a^3}\) (đvtt) D. \(16{a^3}\) (đvtt) Spoiler: Xem đáp án Một khối lập phương có thể tích là \({a^3}\) thì độ dài mỗi cạnh của hình lập phương là a. Nếu mỗi cạnh của hình lập phương tăng gấp 2 lần, tức là độ dài mỗi cạnh là 2a thì thể tích của khối lập phương mới là: \(V = {(2a)^3} = 8{a^3}\) (đvtt)
Câu 13: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và AB' vuông góc với BC'. Thể tích của lăng trụ đã cho là: A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}\) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Dựng hình hộp A’B’C’D’.ABCD khi đó AB’//DC’ và đáy ABCD là hình thoi cạnh a có \(BD = a\sqrt 3 \). Do đó \(BC' \bot DC'\) suy ra tam giác BC’D vuông cân tại C’ (vì \(BC' = DC' = \sqrt {{h^2} + {a^2}} \)) Do đó \(BC' = \frac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow h = \sqrt {BC{'^2} - {a^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\) Thể tích của lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}.\)
Câu 14: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. A. \(R = \frac{a}{2}.\) B. \(R = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.\) C. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) D. \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi G và I lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và \({A'}{B'}{C'}\) O là trung điểm IG khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Ta có: \(AG = \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) \(R = AO = \sqrt {A{G^2} + G{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.\)
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AB = a.\) Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), góc giữa SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^o}.\) Tính thể tích V của khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}.\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}.\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}.\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(SA = AB.\tan {60^o} = a\sqrt 3 ;\,\,{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}.\) Gọi H là hình chiếu của M lên AB. Ta có: \(MH = \frac{{SA}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Thể tích khối chóp M.ABC là: \(V = \frac{1}{3}MH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, \(AB = a.\) Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}.\) B. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}.\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{a^2}.\) Thể tích khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
Câu 17: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^o}.\) Tính thể tích V của khối chóp. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}.\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}.\) C. \(V = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}{a^3}.\) D. \(V = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}{a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm BC; H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC). \(AM = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{2};AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)\(SH = AH\tan {60^o} = a\sqrt 3 .\sqrt 3 = 3a;\,\,{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\left( {3a} \right)^2}\sin {60^o} = \frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\) Thể tích của khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.3a.\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Câu 18: Cho khối lăng trụ (T) có chiều cao bằng a và thể tích bằng \(4{a^3}.\) Tính diện tích đáy S của (T). A. \(S = 4{a^2}.\) B. \(S = 12{a^2}.\) C. \(S = \frac{{{a^2}}}{4}.\) D. \(S = 2{a^2}.\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích đáy S của (T) là \(S = \frac{{4{a^3}}}{a} = 4{a^2}.\)
Câu 19: Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh 3a, hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cạnh AA' hợp với mặt phẳng đáy một góc 45o. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) tính theo a bằng bao nhiêu? A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{27{a^3}}}{6}\) C. \(V = \frac{{9{a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{27{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có \(A'O \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OA\) là hình chiếu của AA’ trên mặt phẳng (ABC). Khi đó: \(\left( {\widehat {{\rm{AA}}';(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {AA';AO}} \right) = \widehat {\left( {A'OA} \right)} = {45^0}\) Suy ra \(\Delta A'AO\) vuông cân tại O \( \Rightarrow OA' = OA = a\sqrt 3 \) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:\(V = OA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{9{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{27{a^3}}}{4}.\)
Câu 20: Cho hàm số S.ABC. Gọi M là trung điểm của đoạn SA, N là điểm trên đường thẳng SC sao cho \(\frac{{{V_{S.MNB}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{2}{3}\). Trong các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng. A. N thuộc tia CS và nằm ngoài đoạn CS. B. N nằm trên đoạn SC nhưng không phải trung điểm SC. C. N thuộc tia SC và nằm ngoài đoạn SC. D. N là trung điểm của đoạn SC. Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{S.MNB}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{4}{3}\)
