Câu 191: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy bằng \(45^0\). Thể tích của hình chóp là \(\frac{4}{3}{a^3}\). Hỏi cạnh hình vuông mặt đáy bằng bao nhiêu. A. a. B. 4a. C. 2a. D. \(a \sqrt2.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là trung điểm CD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO là đường cao của hình chóp. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\ SI \bot CD\\ OI \bot CD\ \end{array} \right. \Rightarrow \left( {\widehat {(SCD);(ABCD)}} \right) = \widehat {SIO} = {45^0}\). Do đó tam giác SOI vuông cân tại \(O \Rightarrow SO = OI = \frac{{BC}}{2}.\) Theo đề bài ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}{a^3} \Rightarrow \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{4}{3}{a^3} \Leftrightarrow \frac{1}{3}.\frac{{BC}}{2}.B{C^2} = \frac{4}{3}{a^3}\) \(\Rightarrow B{C^3} = 8{a^3} \Leftrightarrow BC = 2a.\)
Câu 192: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh bên bằng AA’=3a và đường chéo AC’=5a. Thể tích V của khối hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ bằng bao nhiêu? A. \(V = 4{a^3}\). B. \(V =2 4{a^3}\). C. \(V = 12{a^3}\). D. \(V = 8{a^3}\). Spoiler: Xem đáp án Tam giác AA’C’ vuông tại A’, ta có: \(A'C' = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} - {{\left( {3a} \right)}^2}} = 4a.\) Vì A’B’C’D’ là hình vuông nên \(A'B' = \frac{{A'C'}}{{\sqrt 2 }} = 2a\sqrt 2\) Thể tích là: \(V = AA'.{S_{A'B'C'D'}} = 3a.{\left( {2a\sqrt 2 } \right)^2} = 24{a^3}\).
Câu 193: Cho khối tứ diện ABCD đều cạnh bằng a, M là trung điểm DC. Thể tích V của khối chóp M.ABC bằng bao nhiêu? A. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{24}}\). B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\). C. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\). D. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}}\). Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm BD, ABCD là trọng tâm tam giác ABD. Ta có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\). Trong tam giác ACG có \(CG = \sqrt {A{C^2} - A{G^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Do đó \({V_{CABD}} = \frac{1}{3}CG.{S_{ABD}} = \frac{1}{3}CG.\frac{1}{2}AB.AD.\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{12}}\). Mà \(\frac{{{V_{CABM}}}}{{{V_{CABD}}}} = \frac{{CM}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{CABM}} = \frac{1}{2}{V_{CABD}} = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{24}}\). Câu 194: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có một tâm đối xứng. B. Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có diện tích toàn phần là \(6a^2.\) C. Hình lập phương có 8 mặt đối xứng. D. Thể tích của tứ diện A’ABC bằng \(\frac{a^3}{6}.\) Spoiler: Xem đáp án Hình lập phương có 9 mặt đối xứng (Hình vẽ).
Câu 195: Số đỉnh của một hình bát diện đều là bao nhiêu? A. 10. B. 8. C. 6. D. 12. Spoiler: Xem đáp án Hình bát diện dều có 6 đỉnh:
Câu 196: Số mặt đối xứng của hình tứ diện đều là bao nhiêu? A. 1. B. 4. C. 6. D. 8. Spoiler: Xem đáp án Hình tứ diện đều có 6 mặt đối xứng (Hình vẽ).
Câu 197: Cho một hình đa diện. Khẳng định nào sau đây sai? A. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. B. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. C. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt. D. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh. Spoiler: Xem đáp án Xét hình tứ diện ABCD. Đáp án A sai: Cạnh AB là cạnh chung của hai mặt (ABC) và (ABD).
Câu 198: Cho hình lăng trụ ABCD.A' B' C' D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Đỉnh A’ cách đều các đỉnh A,B,C,D. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Từ giả thiết A’ cách đều các đỉnh A, B, C, D ta suy ra hình chiếu của A’ trên mặt phẳng ABCD là O hay A’O là đường cao của khối lăng trụ. Trong tam giác A’OA vuông tại A và \(\widehat {A'OA} = {60^0},\) suy ra: \(A'O = OA.\tan {60^0} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\) Diện tích đáy ABCD là \({S_{ACDD}} = {a^2}.\) Thể tích của khối lăng trụ là \(V = S.h = {S_{ABCD}}.A'O = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\) Vậy \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)
Câu 199: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có \(AB = a\sqrt 3 ,AD = AA' = a\), O là giao điểm của AC và BD. Thể tích khối chóp OA’B’C’D’ là x, Thể tích khối chóp OBB’C’ là y. Tính giá trị x+y. A. \(x + y = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) B. \(x + y = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(x + y = \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{12}\) D. \(x + y = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{12}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi \(O' = A'C' \cap B'D' \Rightarrow OO' = a\) \(\Rightarrow {V_{OA'B'C'D'}} = \frac{1}{3}OO'.{S_{A'B'C'D'}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} = x\) Vẽ \(OH \bot BC \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \(\Rightarrow {V_{OBB'C'}} = \frac{1}{3}OH.{S_{BB'C}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}a.a = \frac{{a\sqrt 3 }}{{12}} = y\) Từ đó suy ra \(x + y = \frac{{5{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Câu 200: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có \(AA' = BC = a.\) A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{4}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{6}}\) D. \(V = \frac{{{a^3} }}{{3}}\) Spoiler: Xem đáp án ABC là tam giác đều cạnh nên: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\) Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Câu 201: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính độ dài cạnh của khối lập phương biết thể tích khối chóp OA’B’C’D’ là $\frac{{8{a^3}}}{3}$. A. a B. 2a C. 3a D. 4a Spoiler: Xem đáp án Ta có \({V_{O.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{{8{a^3}}}{3}\) \(\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 8{a^3} = {\left( {AB} \right)^3} \Rightarrow AB = 2a.\)
