Câu 202: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=a, SB=3a, SC=4a. Tìm độ dài đường cao SH của hình chóp. A. \(SH = \frac{{14a}}{{13}}.\) B. \(SH = 7a.\) C. \(SH = \frac{{12a}}{{13}}.\) D. \(SH = \frac{{13a}}{{12}}.\) Spoiler: Xem đáp án Độ dài đường cao SH của khối chóp là: \(\frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}} = \frac{{169}}{{144{a^2}}} \Rightarrow SH = \frac{{12a}}{{13}}.\)
Câu 203: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 600. Gọi M là điểm đối xứng của C qua D, N là trung điểm SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp (S.ABCD) thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa hai phần (phần lớn trên phần bé) thể tích đó. A. \(\frac{7}{5}.\) B. \(\frac{11}{7}.\) C. \(\frac{7}{3}.\) D. \(\frac{6}{5}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD V1 là thể tích khối chóp PDQ.BCN và V2 là thể tích của khối chóp còn lại, khi đó \({V_1} + {V_2} = V\) MB cắt AD tại P → P là trung điểm của AD. MN cắt SD tại Q → Q là trọng tâm của tam giác SMC. Ta có \(\frac{{{V_{M.PDQ}}}}{{{V_{M.BCN}}}} = \frac{{MP}}{{MB}}.\frac{{MD}}{{MC}}.\frac{{MQ}}{{MN}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{6}\) Mặt khác \({V_{M.BCN}} = {V_{M.PDQ}} + {V_1} \Rightarrow {V_1} = \frac{5}{6}{V_{M.BCN}}\) Mà \({S_{\Delta MBC}} = {S_{ABCD}},d(S;(ABCD)) = \frac{1}{2}d(S;(ABCD))\) Suy ra \({V_{M.BCN}} = {V_{N.MBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{V}{2}\) \(\Rightarrow {V_1} = \frac{5}{{12}}V \Rightarrow {V_2} = \frac{7}{{12}}V \Rightarrow {V_2}:{V_1} = 7:5.\)
Câu 204: Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình thoi tâm O, cạnh a, $\widehat {QMN} = {60^0}$ Biết $SM = SP,\,SN = SQ$. Kết luận nào sau đây sai? A. M và P đối xứng nhau qua (SNQ). B. MP vuông góc với NQ. C. SO vuông góc với (MNPQ). D. MQ vuông góc với SP. Spoiler: Xem đáp án Tam giác SMP cân tại S \(\Rightarrow SO \bot MP\) mà \(MP \bot NQ \Rightarrow NQ \bot (SMP).\) Tam giác SNQ cân tại S \(\Rightarrow SO \bot NQ\) mà \(MP \bot NQ \Rightarrow MP \bot (SNQ).\) Suy ra \(SO \bot (MNPQ)\) và M, P đối xứng nhau qua (SNQ).
Câu 205: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB=4a, AD=3a; các cạnh bên có độ dài bằng nhau và bằng 5a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{10{a^3}}}{{\sqrt 3 }}.\) B. \(V = \frac{{9{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\) C. \(V = 10{a^3}\sqrt 3 .\) D. \(V = 9{a^3}\sqrt 3 .\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD \(\Rightarrow SO \bot (ABCD)\) Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a \Rightarrow OA = \frac{{5a}}{2}\) \(\Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \frac{{5a\sqrt 3 }}{2};{S_{ABCD}} = 12{a^2}.\) Thể tích khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{5a\sqrt 3 }}{2}.12{a^2} = 10{a^3}\sqrt 3 .\)
Câu 206: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB=2, AC=3. Mặt phẳng (A’BC) hợp với (A’B’C’) góc 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \frac{{9\sqrt {39} }}{{26}}.\) B. \(V = \frac{{3\sqrt {39} }}{{26}}.\) C. \(V = \frac{{18\sqrt {39} }}{{13}}.\) D. \(V = \frac{{6\sqrt {39} }}{{13}}.\) Spoiler: Xem đáp án Từ A kẻ AH vuông góc với BC \((H \in BC)\) Ta có \({\rm{AA}}' \bot (ABC) \Rightarrow {\rm{AA}}' \bot BC \Rightarrow BC \bot (AA'H)\) Khi đó \(\widehat {(A'BC);(A'B'C')} = \widehat {(A'BC);(ABC)} = \widehat {(A'H,AH)} = \widehat {A'HA}\)Suy ra \({\rm{tan}}\widehat {{\rm{A'HA}}}{\rm{ = }}\frac{{AA'}}{{AH}} = AA' = \tan {60^o}.AH\) mà \(AH = \frac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }}\) \(\Rightarrow AA' = \frac{{6\sqrt {39} }}{{13}} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{{6\sqrt {39} }}{{13}}.\frac{1}{2}.2.3 = \frac{{18\sqrt {39} }}{{13}}.\)
Câu 207: Cho hình chóp S.ABC có A', B' lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C}}}}.\) A. \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C}}}} = 4.\) B. \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C}}}} = \frac{1}{4}.\) C. \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C}}}} = \frac{1}{2}.\) D. \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C}}}} = 2.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{SABC}}}}{{{V_{SA'B'C}}}} = \frac{{SA.SB.SC}}{{SA'.SB'.SC}} = \frac{{SA.SB}}{{SA'.SB'}} = 4.\)
Câu 208: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' đáy hình có cạnh bằng a, đường chéo AC' tạo với mặt bên (BCC'B') một góc \(\alpha\) \(\left( {0 < \alpha < {{45}^0}} \right).\) Tính thể tích V của lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D'. A. \(V = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha + 1} .\) B. \(V = {a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1} .\) C. \(V = {a^3}\sqrt {\cos 2\alpha } .\) D. \(V = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} .\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\widehat {AC'B} = \alpha.\). Tam giác ABC' vuông tại B và: \(\widehat {AC'B} = \alpha \Rightarrow BC' = \frac{a}{{\tan \alpha }} = a\cot \alpha .\) Áp dụng định lý Pytago thì: \(CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}} = a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} .\) Thể tích khối lăng trụ \(V = BC.CD.CC' = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} .\)
Câu 209: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có diện tích các mặt $ABCD$, $ABB'A'$ và $ADD'A'$ lần lượt bằng $S_1$ , $S_2$ và $S_3$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. \(V = {S_1}\sqrt {\frac{{{S_2}{S_3}}}{2}}\) B. \(V = \sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}}\) C. \(V = \frac{1}{3}\sqrt {\frac{{{S_1}{S_2}{S_3}}}{2}}\) D. \(V = {S_2}{S_3}\sqrt {\frac{{{S_1}}}{2}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có; \({S_1} = AD.AB;{S_2} = AA'.AB;{S_3} = AA'.AD\) \(\begin{array}{l} {S_1}.{S_2}.{S_3} = A{D^2}.A{B^2}.AA{'^2} = {V^2}\\ \Rightarrow V = \sqrt {{S_1}.{S_2}.{S_3}} . \end{array}\)
Câu 210: Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 B. 4 C. 5 D. Vô số Spoiler: Xem đáp án Hình lăng trụ tam giác đều có bốn mặt phẳng đối xứng như hình vẽ: + 3 mặt phẳng tạo bởi 1 cạnh bên và trung điểm của 2 cạnh đối diện. + 1 mặt phẳng tạo bởi trung điểm của 3 cạnh bên.
Câu 211: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,AD = 2a\); cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d từ A tới mặt phẳng (SBD) . A. d=a B. \(d = \frac{{2a}}{3}\) C. \(d = \frac{{a}}{3}\) D. \(d = \frac{{a}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi K là hình chiếu của A lên BD nên \(AK \bot BD\) Ta có \(SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot BD \Rightarrow BD \bot (SAK)\) Từ A kẻ \(AH \bot BD(H \in BD)\) mà \(BD \bot (SAK) \Rightarrow BD \bot AH\) \(\Rightarrow AH \bot (SBD) \Rightarrow d(A;(SBD)) = AH\) Kẻ \(\Delta SAK\) vuông tại A, đường cao AH khi đó \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}}\) Mặt khác \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\) Suy ra \(AH = \frac{{2a}}{3}\), vậy khoảng cách cần tính là \(d(A;(SBD)) = \frac{{2a}}{3}\)
