Câu 212: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = 2a,\) SA vuông góc với mặt đáy, SA = 3a. Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. A. \(V=6a^3\) B. \(V=3a^3\) C. \(V=a^3\) D. \(V=2a^3\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối chóp S.ABCD là \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.3a.a.2a = 2{a^3}\)
Câu 213: Một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ mỗi góc của tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là 4,8 lít thì độ dài cạnh của tấm bìa là bao nhiêu. A. 42cm B. 36cm C. 44cm D. 38cm Spoiler: Xem đáp án Gọi độ dài cạnh của hình vuông là x cm Thể tích của hình hộp chữ nhật là \(V = 12.{\left( {x - 24} \right)^2}\,(c{m^3})\) Mặt khác \(V=4,8l =4800cm^3\) suy ra \(12.{\left( {x - 24} \right)^2} = 4800 \Leftrightarrow {\left( {x - 24} \right)^2} = 400 \Leftrightarrow x = 44\,\,(cm).\)
Câu 214: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có \(AB = 3a,{\rm{ }}AC = 5a\) và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng \(6a^3\). Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAD). A. \(\frac{{3a\sqrt 5 }}{5}\) B. \(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\) C. \(\frac{{3a\sqrt {10} }}{{10}}\) D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Dựng \(BH \bot SA\). Do \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {BA \bot AD}\\ {AD \bot SB} \end{array}} \right. \Rightarrow AD \bot BH\) Mặt khác \(BH \bot SA \Rightarrow BA \bot \left( {SAD} \right)\) Do đó \(d\left( {B;\left( {SAD} \right)} \right) = BH = \frac{{SB.SA}}{{\sqrt {S{B^2} + B{A^2}} }}\) Trong đó \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 4a\) Suy ra \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SB \Rightarrow SB = \frac{{3a}}{2} \Rightarrow d = \frac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\)
Câu 215: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V. Trên cạnh AA’ lấy trung điểm M, tính thể tích \(V_1\) của khối đa diện MAB’C’BC theo V. A. \({V_1} = \frac{{3V}}{4}\) B. \({V_1} = \frac{{2V}}{3}\) C. \({V_1} = \frac{V}{2}\) D. \({V_1} = \frac{{5V}}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{M.A'B'C'}} = \frac{1}{2}{V_{A.A'B'C'}};{V_{A.A'B'C'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}V\) Khi đó \({V_{MAB'.C'BC}} = V - {V_{M.A'B'C'}} = V - \frac{1}{2}{V_{A.A'B'C'}} = V - \frac{1}{2}.\frac{V}{3} = \frac{{5V}}{6}.\)
Câu 216: Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 10 B. 4 C. 8 D. 6 Spoiler: Xem đáp án Số mặt đối xứng của tứ diện đều là 6.
Câu 217: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABA’C’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Dựng \(C'H \bot A'B' \Rightarrow C'H \bot \left( {ABA'} \right)\) \(S{ _{\Delta AA'B}} = \frac{1}{2}AA'.AB = \frac{1}{2}{a^2} \Rightarrow {V_{ABA'C'}} = \frac{1}{3}C'H.{S_{\Delta AA'B}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
Câu 218: Tính thể tích V của tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a và \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) A. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}\) C. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} DM \bot BC\\ AM \bot BC \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (ADM)\) Ta có: \(DM = AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = AD\) Suy ra tam giác AMD đều. Gọi N là trung điểm của AM suy ra N là hình chiếu của D lên đáy (ABC). \(DN = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{3}{4}a.\) Vậy: \(V = \frac{1}{3}DN.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}.a.\frac{1}{2}a.a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}{a^3}.\)
Câu 219: Người ta cắt miếng bìa hình tam giác cạnh bằng $10cm$ như hình bên và gấp theo các đường kẻ, sau đó dán các mép lại để được hình tứ diện đều. Tính thể tích của khối tứ diện tạo thành. A. \(V = \frac{{250\sqrt 2 }}{{12}}c{m^3}.\) B. \(V = 250\sqrt 2 c{m^3}.\) C. \(V = \frac{{125\sqrt 2 }}{{12}}c{m^3}.\) D. \(V = \frac{{1000\sqrt 2 }}{3}c{m^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Tứ diện đều tạo thành là tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng 5cm. Do BCD là tam giác đều cạnh bằng 5 nên có diện tích là là \(S = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}c{m^2}.\) Đường cao \(AH = \sqrt {A{D^2} - D{H^2}} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\frac{2}{3} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}.\) Thể tích tứ diện tạo thành là: \(V = \frac{1}{3} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \cdot \frac{{5\sqrt 6 }}{3} = \frac{{125\sqrt 2 }}{{12}}.\)
Câu 220: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích của khối chóp đó bằng \(\frac{{{a^3}}}{4}.\) Tính độ dài cạnh bên SA. A. \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) B. \(SA = 2a\sqrt 3 .\) C. \(SA = a\sqrt 3 .\) D. \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Đáy là tam giác đều cạnh a nên diện tích \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). SA là đường cao nên \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} \Rightarrow SA = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{{3{a^3}}}{4}}}{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} = a\sqrt 3\).
Câu 221: Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, \(\widehat {ACB} = 60^\circ .\) Đường thẳng BC' tạo với (ACA'C') một góc 300.Tính thể tích V của khối trụ ABC.A'B'C'. A. \(V = {a^3}\sqrt 6 .\) B. \(V =\frac{ {a^3}\sqrt 6}{3} .\) C. \(V = 3{a^3}.\) D. \(V = {a^3}\sqrt 3.\) Spoiler: Xem đáp án Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: \(\tan {60^o} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = a\sqrt 3 .\) Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) Ta có hình chiếu vuông góc của cạnh BC' trên mặt phẳng (ACC'A') là AC'. Khi đó góc \(\widehat {BC'A} = 30^\circ .\) Xét tam giác ABC' vuông tại A ta có: \(\tan 30^\circ = \frac{{AB}}{{AC'}} \Rightarrow AC' = 3a.\) Khi đó: \(CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = 2a\sqrt 2 .\) Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{\Delta ABC}} = {a^3}\sqrt 6 .\)
