Câu 222: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC. A. \(V = {a^3}.\) B. \(V =\frac{ {2a^3}}{3}\). C. \(V =\frac{ {\sqrt 2a^3}}{3}\). D. \(V =\frac{ {a^3}}{3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm BC. Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SH = \frac{1}{2}BC = a.\) \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}a.2a = {a^2}.\) Vậy thể tích khối chóp \({V_{SABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{3}.\)
Câu 223: Tứ diện đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 4 B. 8 C. 6 D. 10 Spoiler: Xem đáp án Tứ diện đều có mặt phẳng đối xứng là mặt phẳng tạo bởi một cạnh với trung điểm của cạnh đối diện của nó.
Câu 224: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3cm, các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt đáy là 600. Tính thể tích V của khối S.ABCD. A. \(V = 6\sqrt 6 c{m^3}\) B. \(V = 9\sqrt 6 c{m^3}\) C. \(V = 3\sqrt 3 c{m^3}\) D. \(V = 3\sqrt 6 c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\left\{ \begin{array}{l} (SAB) \bot (ABCD)\\ (SAD) \bot (ABCD) \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot (ABCD).\) Vậy góc giữa SC và đáy là \(\widehat{SCA}=60^0\) Xét tam giác SAC ta có: \(SA = AC.\tan {60^0} = 3\sqrt 2 .\sqrt 3 = 3\sqrt 6\) \(\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}3\sqrt 6 {.3^2} = 9\sqrt 6 c{m^3}.\)
Câu 225: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác vuông AOB với A chạy trên trục hoành và có hoành độ dương, B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA+OB=1. Hỏi thể tích lớn nhất V của vật thể tạo thành khi quay tam giác AOB quanh trục Oy bằng bao nhiêu? A. \(V = \frac{{4\pi }}{{81}}\) B. \(V = \frac{{15\pi }}{{27}}\) C. \(V = \frac{{9\pi }}{4}\) D. \(V = \frac{{17\pi }}{9}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi A(a;0); B(0;-b) với a.b>0 thì a+b=1 Thể tích của vật thể khi quay tam giác quanh trục Oy là: \(V = \frac{1}{3}\pi {b^2}a\) Mặt khác: \(1 = a + b = a + \frac{b}{2} + \frac{b}{2} \ge 3\sqrt[3]{{a.\frac{{{b^2}}}{4}}} \Rightarrow \frac{4}{{27}} \ge a{b^2} \Rightarrow V \le \frac{1}{3}.\frac{4}{{27}}\pi = \frac{{4\pi }}{{81}}.\)
Câu 226: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo \(AC'=6cm\) A. \(V = 24\sqrt 3 \,\,c{m^3}\) B. \(V = 12\sqrt 3 \,\,c{m^3}\) C. \(V = 24\sqrt 2 \,\,c{m^3}\) D. \(V = 12\sqrt 2 \,\,c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án \(AC{'^2} = A{B^2} + BC{'^2} = {a^2} + {a^2} + {a^2} = 3{a^2} = {6^2} \Rightarrow a = 2\sqrt 3 cm\) \(\Rightarrow V = {a^3} = 24\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 227: Xét các hình chóp S.ABC thỏa mãn \(SA = a;SB = 2a;SC = 3a\) với a là hằng số cho trước. Tìm giá trị lớn nhất V của thể tích khối chóp S.ABC? A. \(V=6a^3\) B. \(V=2a^3\) C. \(V=a^3\) D. \(V=3a^3\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC} \le \frac{1}{2}SB.SC = \frac{1}{2}2a.3a = 3{a^2}.\) Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) Ta có: \(AS \ge AH \Rightarrow V \le \frac{1}{3}a.3{a^2} = {a^3}.\)
Câu 228: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA'C'C) tạo với đáy một góc bằng 450. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{{32}}\) B. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{{16}}\) C. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{4}\) D. \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{3{a^3}}}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm \(AB{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}A'H \bot \left( {ABC} \right)\) Vẽ \(HK\perp AC\) tại K (1) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot HK\\ AC \bot A'H \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (A'HK) \Rightarrow A'K \bot AC\) (2) (1) (2) suy ra: \(\widehat {\left( {(AA'C'C);(ABC)} \right)} = \widehat {A'KH{\rm{ }}} = {\rm{ }}45^\circ\) \(\begin{array}{l} AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};HK = AH.sin60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow A'H = HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \end{array}\) Vậy: \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}}}{{16}}.\)
Câu 229: Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy một góc 600 đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với \(BA = BC = a\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích V khối đa diện AMNBC? A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Do có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy nên SA vuông góc với đáy. Góc \(\widehat{SBA}\) chính là góc của SB tạo với mặt đáy và bằng 600 Xét tam giác SBA: \(SA = AB.\tan {60^0} = \sqrt 3 a.\) Thể tích hình chóp S.ABC: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}a.a = \frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}.\) Xét tỉ lệ: \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\) Suy ra \({V_{AMNBC}} = \frac{3}{4}{V_{SABC}} = \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^3}.\)
Câu 230: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A. \(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \frac{1}{3}SA.{s_{day}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.a.a.\sin {60^0} = \frac{1}{4}{a^3}.\)
Câu 231: Bát diện đều có mấy đỉnh? A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 Spoiler: Xem đáp án Hình bát diện đều có 6 đỉnh và 8 mặt.
