Câu 232: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a,SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 6 .\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\) B. \(V = {a^3}\sqrt 6\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối chóp S.ABCD là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{\rm{.S}}A.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 6 .{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.\)
Câu 233: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Gọi ${V_1},\,{V_2}$ lần lượt là thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$ A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{{16}}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{S.ABC}} = {V_{S.ACD'}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\) Mà: \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}\frac{{SB'}}{{SB}}\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}\) Tương tự: \({V_{S.A'C'D'}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}}\) Khi đó: \({V_{S.A'B'C'}} + {V_{S.A'C'D'}} = \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}} + \frac{1}{{16}}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'D'}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\) \(\Rightarrow \frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{8}.\)
Câu 234: Cho khối chóp S.ABC có \(SA = a,SB = a\sqrt 2 ,SC = a\sqrt 3 .\) Tính tích lớn nhất V của khối chóp S.ABC. A. \(V = {a^3}\sqrt 6\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}SB.SC.\sin \widehat {BSC} \le \frac{1}{2}SB.SC = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}.\) Gọi H là hình chiếu của A lên (SBC) Ta có: \(AS \ge AH \Rightarrow V \le \frac{1}{3}{a^2}\sqrt 6 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)
Câu 235: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SD = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt (ABCD) là trung điểm của đoạn AB. Tính chiều cao h của khối chóp H.SBD theo a. A. \(h = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}\) B. \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{7}\) C. \(h = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}\) D. \(h = \frac{{3a}}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Từ H kẻ HI vuông góc với BD \(\left( {I \in BD} \right)\) và \(HK \bot SI\) suy ra \(HK \bot \left( {SBD} \right).\) Ta có \(SH = \sqrt {S{D^2} - H{D^2}} = a\sqrt 3\) và \(HI = \frac{{AC}}{4} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\) Suy ra \(HK = \frac{{SH.IH}}{{\sqrt {S{H^2} + I{H^2}} }} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}}}{{\frac{{5a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}\) Do đó chiều cao của khối chóp H.SBD là \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{5}.\)
Câu 236: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có AB=a, đường thẳng AB′ tạo với mặt phẳng (BCC′B′) một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. \(V = \frac{3}{4}{a^3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi I là trung điểm của đoạn BC \(\Rightarrow AI \bot (BB'C'C)\) Vậy \(\widehat {AB'I} = {30^0}.\) Trong tam giác \(AB'I:B'I = AI.\cot {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{3a}}{2}.\) Trong tam giác \(B'BI:BB' = \sqrt {B'{I^2} - B{I^2}} = \sqrt {\frac{9}{4}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = a\sqrt 2 .\) Vậy thể tích lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.BB' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}.\)
Câu 237: Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh? A. 8 B. 16 C. 30 D. 12 Spoiler: Xem đáp án Hình bát diện đều có tất cả 12 cạnh.
Câu 238: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E sao cho SE=2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD. A. \(V=\frac{1}{6}\) B. \(V=\frac{1}{12}\) C. \(V=\frac{1}{3}\) D. \(V=\frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{SEBD}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SE}}{{SC}} = \frac{2}{3}\) Mà: \({V_{SCBD}} = \frac{1}{2}V \Rightarrow {V_{SEBD}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}.V = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3}.\)
Câu 239: Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = {a^3}\sqrt 2\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) D. \(V = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là độ dài cạnh góc vuông \(\Rightarrow {x^2} + {x^2} = 4{a^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2 \Rightarrow OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Ta có: \(SO = OM.\tan {45^0} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Vậy: \(V = \frac{1}{3}.2{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)
Câu 240: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD. A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và thể tích bằng 3a3. Tính chiều cao h của hình lăng trụ đã cho? A. \(h=\frac{a}{3}\) B. h = 9a C. h = 3a D. h = a Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(V = SABCD.h = {a^2}.h = 3{a^3} \Rightarrow h = 3a.\)
Câu 241: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC; góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Tính thể tích V khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó ta có \(AM\perp BC\) (vì là tam giác đều) Mặt khác ta lại có \(SM\perp BC\) (vì \(\Delta SAB=\Delta SAC\)) Suy ra góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) là \(\widehat{SMA}=30^0\) Xét \(\Delta ABC\) ta có \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) Diện tích \(\Delta ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.BC.AM = \frac{1}{2}.a. \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) Xét \(\Delta SAM\) ta có \(SA = AM.\tan \widehat {SMA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\tan {30^0} = \frac{a}{2}\) Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}. \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)
