Câu 242: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của cạnh SD. Biết rằng khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(a^3\) và tam giác MAC là tam giác đều cạnh a, hãy tính khoảng cách d từ điểm S đến mặt phẳng (MAC). A. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) B. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) C. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(d = a\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối chóp S.ACD là: \({V_{S.ACD}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Mà \(\frac{{{V_{S.MAC}}}}{{{V_{S.DAC}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.MAC}} = \frac{{{a^3}}}{4}\) Mặt khác \({V_{S.MAC}} = \frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {MAC} \right)} \right). {S_{\Delta MAC}} = \frac{{{a^3}}}{4}\) \(\Leftrightarrow d\left( {S;\left( {MAC} \right)} \right) = \frac{{3{a^3}}}{{4.{S_{\Delta MAC}}}} = a\sqrt 3\)
Câu 243: Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây? A. 2015 B. 2017 C. 2018 D. 2016 Spoiler: Xem đáp án Nếu hình lăng trụ có đáy là đa giác n cạnh thì số cạnh đáy của hình lăng trụ là 2n và số cạnh bên là n ⇒ tổng số cạnh của hình lăng trụ là 3n. Vậy số cạnh của hình lăng trụ là một số chia hết cho 3. ⇒ Loại A, B, C D đúng vì 2016 chia hết cho 3
Câu 244: Hình chóp có 2017 đỉnh thì có bao nhiêu mặt? A. 2016 B. 4032 C. 2018 D. 2017 Spoiler: Xem đáp án Hình chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có n+1 (gồm đỉnh S và n đỉnh của đa giác đáy), n+1 mặt (1 mặt đáy và n mặt bên) và 2n cạnh. Vậy số đỉnh và số mặt của hình chóp luôn bằng nhau, suy ra hình chóp có 2017 mặt.
Câu 245: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 600 và AC' = 4a. Tính thể tích V của khối đa diện ABCB’C’. A. \(V = {a^3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\) D. \(V = 3a^3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({V_{A.A'B'C'}} + {V_{A.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}}\) \(= {V_{ABC.A'B'C'}} - \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\) Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng \(\Rightarrow \widehat {\left( {AC';\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {60^0}\) Khi đó \(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} \Rightarrow AH = \sin {60^0}.4a = 2a\sqrt 3 \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta A'B'C'}}\) \(= 2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{2}\) Vậy thể tích của khối đa diện cần tìm là \({V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}}}{2} = {a^3}\)
Câu 246: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại B, \(AB = a,BC = 2a.\) Hình chiếu vuông góc của A’ trên đáy ABC là trung điểm H của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{3}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\) D. \(V ={{a^3}\sqrt 5 }\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\widehat {A'BH} = {{45}^0}}\\ {A'H \bot BH} \end{array}} \right. \Rightarrow A'H = BH\) Lại có \(BH = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}}\) \(= \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) \(\Rightarrow V = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{1}{2}a.2a = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}\)
Câu 247: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Tính thể tích $V_1$ của khối tứ diện A’B’C'C. A. \(V_{1} =\frac{V}{4}\) B. \(V_{1} =\frac{V}{3}\) C. \(V_{1} =\frac{V}{2}\) D. \(V_{1} =\frac{2}{3}V\) Spoiler: Xem đáp án Ta có \({V_{ABC.A'B'C'}} = d(C,(A'B'C').{S_{A'B'C'}}\) Mặt khác \({V_{A'B'C'C}} = \frac{1}{3}d\left( {C,(A'B'C'} \right)).{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{3}V.\)
Câu 248: Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. A. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{2}\) B. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{4}\) C. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt {3} }}{6}\) D. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt {3} }}{12}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là tâm của hình vuông ABCD\(\Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) Ta có: \(AH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\) \(\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{{SH.A{B^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt {10} }}{2}.\)
Câu 249: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính thể tích khối chóp S.OAB biết thể tích S.ABCD là 24. A. 12 B. 6 C. 24 D. 8 Spoiler: Xem đáp án \({V_{S.OAB}} = \frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).\frac{1}{4}.{S_{ABCD}}\) \(= \frac{1}{4}.{V_{S.ABCD}} = 6\)
Câu 250: Cho bốn hình sau đây: Khẳng định nào sau đây sai ? A. Khối đa diện A không phải là khối đa diện đều B. Khối đa diện B là khối đa diện lồi C. Khối đa diện C là khối đa diện lồi D. Cả 4 khối đa diện A, B, C, D đều là khối đa diện lồi. Spoiler: Xem đáp án Nhắc lại khái niệm “đa diện lồi” : “Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi”. Do đó, hình D không phải là đa diện lồi.
Câu 251: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền là 4a và thể tích bằng \(a^3\). Tính chiều cao h của khối chóp S.ABC. A. \(h = \frac{a}{2}\) B. \(h = a\) C. \(h = \frac{3a}{4}\) D. \(h = 3a\) Spoiler: Xem đáp án Gọi x là độ dài cạnh góc vuông của tam giác ABC ta có: \(\sqrt {{x^2} + {x^2}} = 4a \Rightarrow x = 2\sqrt 2 a \Rightarrow {S_{ABC}} = 4{a^2}\) Ta có: \(V = \frac{1}{3}S.h = {a^3} \Rightarrow h = \frac{{3a}}{4}\)
