Câu 252: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. AB=BC=a và AD=4a. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAC). A. \(d = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\) B. \(d = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\) C. \(d = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\) D. \(d = 4a\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác SAB vuông ở S nên H là trung điểm của AB, \(SH \bot (ABCD)\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}}\\ S{A^2} + S{B^2} = A{B^2} = {a^2} \end{array} \right. \Rightarrow SA = SB = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\) Ta có: \(\begin{array}{l} AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 \\ SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\\ SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }} \end{array}\) Dễ thấy: \(S{A^2} + S{C^2} = A{C^2}\) Nên SAC vuông tại S. \(\begin{array}{l} {S_{SAC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{5{a^2}}}{2} = \frac{{5{a^2}}}{{12}} = V\\ {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}}}{{12}} = {V_1}\\ \Rightarrow {V_{S.ACD}} = V - {V_1} = \frac{{{a^3}}}{3} = \frac{1}{3}.d\left( {D,(SAC)} \right).{S_{SAC}}\\ \Rightarrow d\left( {D,(SAC)} \right) = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)
Câu 253: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V=8. M, N là hai điểm sao cho $\overrightarrow {SM} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\overrightarrow {SB} = 3\overrightarrow {SN}$ và diện tích tam giác AMN bằng 2. Tính khoảng cách d từ S đến mặt phẳng (AMN). A. \(d = \frac{9}{2}\) B. \(d = 9\) C. \(d = \frac{3}{2}\) D. \(d = 6\) Spoiler: Xem đáp án Đặt \({V_{S.ABC}} = V;\,{V_{N.ABC}} = {V_1};\,{V_{M.ABC}} = {V_2};{V_{S.ANC}} = {V_3}\) \(\begin{array}{l} + \,NB = \frac{1}{2}SB \Rightarrow d\left( {S,(ABC)} \right) = 2d\left( {N,(ABC)} \right)\\ \Rightarrow V = 2{V_1} \Rightarrow {V_1} = 4 \end{array}\) \(+ \,MC = \frac{1}{4}SC \Rightarrow d(S,\left( {ANC} \right)) = 4d(M,(ANC)) \Rightarrow {V_3} = 4{V_2}\) Mà: \(\begin{array}{l} {V_{S.AMN}} = {V_3} - {V_2} = 3{V_2}\\ {V_2} = V - {V_1} - {V_{S.ANM}} = 4 - {V_{S.ANM}}\\ \Rightarrow {V_{S.ANM}} = 3 = \frac{1}{3}.d(S,(ANM)).2 \Leftrightarrow d(S,(ANM)) = \frac{9}{2} \end{array}\)
Câu 254: Cho hình hộp chữ nhật có đường chéo $d = \sqrt {21}$ và độ dài ba kích thước của nó lập thành một cấp số nhân với công bội q= 2. Tính thể tích V của khối hộp hình chữ nhật. A. \(V = 8\) B. \(V = 6\) C. \(V =\frac{4}{3}\) D. \(V =\frac{8}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi là kích thước hình hộp. Giả sử kích thước ngắn nhất là \(b = a \Rightarrow c = 2a \Rightarrow h = 4a.\) Công thức tính độ dài đường chéo l hình hộp chữ nhật: \(\begin{array}{l} l = \sqrt {{b^2} + {c^2} + {h^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 16{a^2}} = \sqrt {21} \\ \Rightarrow a = 1 \end{array}\) Vậy: V=a.b.c=1.2.4=8
Câu 255: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2, khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{4}{3}\) B. \(V = \frac{1}{3}\) C. \(V = \frac{2}{3}\) D. V = 4 Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của CD. Gọi H là tâm của hình vuông ABCD. Suy ra: \(SH \bot (ABCD).\) + Kẻ \(HK \bot SM \Rightarrow d(H,(SCD)) = HK = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) + Ta có: \(HM = 1 \Rightarrow \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow SH = 1\) + \({S_{ABCD}} = 4\) Vậy: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{4}{3}.\)
Câu 256: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi , AC=4a, BD=2a. Mặt chéo SBD nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SB = a\sqrt 3 ;\,SD = a$. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Kẻ \(SH \bot BD \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) Tam giác SBD vuông ở S có SH là đường cao. \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{D^2}}} \Rightarrow SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ + {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = 4{a^2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^3}. \end{array}\)
Câu 257: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc \(\widehat{A}\) bằng 600và cạnh bên AA’ = 2a. Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = {a^3}\sqrt 3\) D. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Xét tam giác ABD có \(\widehat {BAD} = {60^0}\) Nên BAD là tam giác đều cạnh a \(\Rightarrow {S_{BAD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) Ta có \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = {a^3}\sqrt 3\)
Câu 258: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3$ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = {a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.BA = \frac{{{a^2}}}{2}\) Vậy: \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
Câu 259: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC=a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{12}\) C. \(V = \frac{{{a^3\sqrt3}}}{6}\) D. \(V = \frac{{{a^3\sqrt3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Kẻ \(SH \bot BC\) vì \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC \(\Rightarrow SJ \bot AB,SJ \bot BC\) Theo giả thiết \(\Delta SHI = \Delta SHJ \Rightarrow HI = HJ\) Ta có: \(\Delta SHI = \Delta SHJ \Rightarrow HI = HJ\) nên BH là đường phân giác của \(\Delta ABC\) từ đó suy ra H là trung điểm của AC. \(HI = HJ = SH = \frac{a}{2} \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{{{a^3}}}{{12}}\)
Câu 260: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: \(SA = 2SM,SB = 3SN;\) \(SC = 4SP;SD = 5SQ.\) Tính thể tích V của khối chóp S.MNPQ. A. \(V = \frac{2}{5}\) B. \(V = \frac{4}{5}\) C. \(V = \frac{6}{5}\) D. \(V = \frac{8}{5}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{SMNPQ}} = {V_{SMQP}} + {V_{SMNP}}\) \({V_{SADC}} = {V_{SQBC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}}\) \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MQP}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SQ}}{{SD}}.\frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{5}.\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{40}}\\ \Rightarrow {V_{S.MQP}} = \frac{1}{{40}}.{V_{S.ADC}} = \frac{1}{{80}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\) \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\frac{{SN}}{{SP}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{{24}}\\ \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{1}{{24}}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{{48}}.{V_{S.ABCD}} \end{array}\) \(\Rightarrow {V_{SMNPQ}} = \left( {\frac{1}{{80}} + \frac{1}{{48}}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{8}{5}\)
Câu 261: Một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi khóc của tấm bìa một hình vuông có cạnh bằng 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm độ dài cạnh hình hộp biết dung tích của hộp bằng $4800$ $cm^3$. A. 38 (cm) B. 36 (cm) C. 44 (cm) D. 42 (cm) Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh hình vuông ban đầu là x (cm) Theo đề bài ta có: \(V = {(x - 24)^2}.12 = 4800.\) Suy ra: x=44 (cm)
