Câu 262: Tính thể tích V của khối chóp S.ABC có \(SA,SB,SC\) đôi một vuông góc với nhau biết \(SA = a,SB = 2a,SC = 3a.\) A. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) C. \(V = a^3\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} SA \bot SB\\ SA \bot SC \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot (SBC)\\ \Rightarrow {V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{SBC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.2a.3a = {a^3} \end{array}\)
Câu 263: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông cân tại A và D, \(AB = 2a,AD = DC = a\), cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=2a. Gọi M, N là trung điểm của SA và SB. Tính thể tích V của khối chóp S.CDMN. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) C. \(V = a^3\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD = \frac{1}{2}.\left( {2a + a} \right).a = \frac{3}{2}{a^2}\) \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2}{a^2}.2a = {a^3}\) Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AD.AB = \frac{1}{2}.2a.a = {a^2} = \frac{2}{3}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{ADC}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}\) Ta đây suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} {V_{SABC}} = \frac{2}{3}{V_{SABCD}}\\ {V_{SADC}} = \frac{1}{3}{V_{SABCD}} \end{array} \right.\) (*) Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích ta có: \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{SMNC}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SC}}{{SC}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {V_{SMNC}} = \frac{1}{4}{V_{SABC}} = \frac{1}{4}.\frac{2}{3}{V_{SABCD}} = \frac{1}{6}{V_{SABCD}} \end{array}\) \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{SMCD}}}}{{{V_{SACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SC}}{{SC}}.\frac{{SD}}{{SD}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow {V_{SMCD}} = \frac{1}{2}{V_{SADC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.{V_{SABCD}} = \frac{1}{6}{V_{SABCD}} \end{array}\) Từ đây ta có \({V_{SMNCD}} = \frac{1}{3}{V_{SABCD}} = \frac{{{a^3}}}{3}.\)
Câu 264: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt 3 }}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{{3\sqrt 3 }}\) C. \(V = \sqrt3a^3\) D. \(V =3 \sqrt3a^3\) Spoiler: Xem đáp án Ta thấy do SA là đường cao của hình chóp SABCD do đó hình chiếu của SB lên (ABCD) là AB. Từ đây suy ra \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA} = {60^0}\) Tam giác SBA vuông tại A \(\Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3\) Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .{a^2} = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt 3 }}\)
Câu 265: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy và \(AB = a;SA = AC = 2a\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{2{a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt3{a^3}}}{3}\) C. \(V = \frac{{2\sqrt3{a^3}}}{3}\) D. \(V = \sqrt3a^3\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 .\) Thể tích khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.SA = \frac{1}{6}.a.a\sqrt 3 .2a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Câu 266: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, mặt bên BCC’B’ là hình vuông, khoảng cách giữa AB’ và CC’ bằng a. Thể tích V của khối trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\) C. \(V = \sqrt2a^3\) D. \(V =a^3\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\begin{array}{l} C'C//\left( {ABB'A'} \right)\\ \Rightarrow d\left( {CC';AB'} \right) = d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = a \end{array}\) Mặt khác ta có: \(C'A' \bot BB';C'A' \bot A'B' \Rightarrow C'A' \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow C'A' = a\) Khi đó \(B'C' = a\sqrt 2\) (do tam giác A’B’C’ vuông cân tại A’). Mà 'BCC’B’ là hình vuông nên chiều cao hình lăng trụ là \(BB' = B'C = a\sqrt 2\) Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{1}{2}.{a^2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}.\)
Câu 267: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACB’D’. A. \(V = {a^3}\) B. \(V = \frac{{a^3}}{3}\) C. \(V = \frac{{a^3}}{6}\) D. \(V = \frac{{a^3}}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{ACD'B'}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{D'ADC}} - {V_{B'ACB}} - {V_{CB'C'D'}} - {V_{AA'B'D'}}\) Mặt khác: \({V_{D'ADC}} = {V_{B'ACB}} = {V_{CB'C'D'}} = {V_{AA'B'D'}} = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{1}{6}{a^3}\) Do đó: \({V_{ACD'B'}} = {a^3} - 4.\frac{1}{6}{a^3} = \frac{{{a^3}}}{3}\)
Câu 268: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi A’; B’; C’ tương ứng là các điểm đối xứng của A; B; C qua S. Tính thể tích V của khối bát diện có các mặt: ABC; A’B’C’; A’BC; B’CA; C’AB; AB’C’; BC’A’; CA’B’. A. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\) C. \(V = 2\frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\) D. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối bát diện đã cho là: \(V = 2{V_{A'B'C'BC}} = 2.4{V_{A'.SBC}} = 8{V_{S.ABC}} = 8.\frac{1}{3}SG.{S_{ABC}}\) Ta có: \(\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SAG} = {60^0}.\) Xét tam giác SGA vuông tại G: \(\tan \widehat {SAG} = \frac{{SG}}{{AG}} \Leftrightarrow SG = AG.\tan \widehat {SAG} = a\) Vậy: \(V = 8.\frac{1}{3}SG.{S_{ABC}} = 8.\frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}.\)
Câu 269: Cho tứ diện ABCD có hai măt ABC, BCD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong các mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{8}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{8}\) D. \(V = \frac{{\sqrt3{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Nhận xét hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau có BC là giao tuyến. Gọi H là trung điểm của BC suy ra \(AH \bot BC\) (do tam giác ABC là tam giác đều). Suy ra \(AH \bot \left( {BCD} \right)\), hay AH là đường cao của tứ diện ABCD. Mặt khác \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Do đó: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{SCD}}.AH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{8}.\)
Câu 270: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng bằng 450. Hình chiếu của a trên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của A’B’. Tính thê tích V của khối lăng trụ theo a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{16}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{24}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của A’B, theo đề ta suy ra: \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right)\) \(\Rightarrow \widehat {AA'H} = {45^0}\) khi đó \(AH = A'H.\tan {45^0} = \frac{a}{2}.\) Vậy: \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Câu 271: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân tại C, AB=AA'=a, góc giữa BC’ và mặt phẳng (ABB’A’) bằng 600. Tính thể tích V của hình lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \sqrt {15} {a^3}\) B. \(V = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}{a^3}\) C. \(V = \frac{{\sqrt {15} }}{{12}}{a^3}\) D. \(V = \frac{{\sqrt {15} }}{4}{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm A’B’. Khi đó góc giữa đường thẳng BC’ và (ABB’A’) bằng góc MBC’ và bằng 600. Gọi AB=CB=x Ta có: \(BC{'^2} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \Rightarrow MC{'^2} = {x^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{4{x^2} - {a^2}}}{4}\) \(\begin{array}{l} \sin {60^0} = \frac{{MC'}}{{BC'}} = \frac{{\sqrt {4{x^2} - {a^2}} }}{{2\sqrt {{a^2} + {x^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow 4{x^2} - {a^2} = 3{a^2} + 3{x^2} \Rightarrow {x^2} = 4{a^2} \Rightarrow x = 2a \end{array}\) \(\Rightarrow MC' = \frac{{\sqrt {15{a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\) \(V = AA'.{S_{A'B'C'}} = a.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{4}\)
