Câu 21: Cho hàm số S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. Hãy tính \(k = \frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}}.\) A. \(k = \frac{1}{8}\) B. \(k = \frac{1}{4}\) C. \(k = 4\) D. \(k = \frac{1}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(k = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.\)
Câu 22: Có bao nhiêu khối đa diện đều? A. Ba B. Năm C. Bốn D. Sáu Spoiler: Xem đáp án Có năm loại khối đa diện đều.
Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tỉ số thể tích của hai khối chóp ANIB và S.ABCD là: A. \(\frac{1}{{16}}\) B. \(\frac{1}{8}\) C. \(\frac{1}{{12}}\) D. \(\frac{1}{{24}}\) Spoiler: Xem đáp án Vì N là trung điểm của SC \( \Rightarrow \frac{{d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{1}{2}\) Ta có \(\Delta \,AMI \sim \Delta \,CBI \Rightarrow \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{{AI}}{{CI}} = \frac{{MI}}{{BI}} \Rightarrow \frac{{d\left( {I;\left( {AB} \right)} \right)}}{{d\left( {C;\left( {AB} \right)} \right)}} = \frac{1}{3}\) Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta ABI}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta ABI}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6}\) Vậy \(\frac{{{V_{ANIB}}}}{{{S_{S.ABCD}}}} = \frac{{d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right)}}.\frac{{{S_{\Delta ABI}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{{12}}.\)
Câu 24: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng \({60^0},\,\,AA' = 2a\). Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \({a^3}\) C. \(3{a^3}\) D. \(\frac{{3{a^3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) \( \Rightarrow \widehat {AA';\left( {ABC} \right)} = \widehat {\left( {AA';AH} \right)} = \widehat {A'AH} = {60^0}\) Tam giác A’AH vuông tại H, có \(\sin \widehat {A'AH} = \frac{{AH}}{{AA'}} \Rightarrow AH = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 \) Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là \(V = A'H.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 3{a^3}\) Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là \({V_{ACA'B'}} = \frac{V}{3} = \frac{{3{a^3}}}{3} = {a^3}.\)
Câu 25: Một khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên đều tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích của khối chóp đó. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi đáy hình chóp là ABC, đỉnh là S với tâm đáy là O. Khi đó dựng OH vuông BC, ta có ngay: \(BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SHO} = {60^0} \Rightarrow SO = OH.\tan 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{3}.\sqrt 3 = \frac{a}{2}\) \( \Rightarrow V = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)
Câu 26: Khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Hình chiếu của đỉnh A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho. A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của BC, như vậy ta có: \(\widehat {\left( {AA',\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {A'AH} = {30^0} \Rightarrow A'H = AH.\tan 30 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{2}\) \( \Rightarrow V = {S_{ABC}}.A'H = \frac{1}{2}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
Câu 27: Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có thể tích là \(36c{m^3}.\) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của \(AA',BB'.\) Tính thể tích V của khối tứ diện \(AC'MN.\) A. \(V = 4c{m^3}.\) B. \(V = 6c{m^3}.\) C. \(V = 9c{m^3}.\) D. \(V = 12c{m^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Gọi h là chiều cao của lăng trụ, S là diện tích đáy. Ta có: \({V_{C'.ABC}} = \frac{1}{3}Sh = \frac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{3} \Rightarrow {V_{C'ABB'A'}} = \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\) \( \Rightarrow {V_{C'AMN}} = \frac{1}{2}{V_{C'ABNM}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} = \frac{{36}}{6} = 6\left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 28: Cho tứ diện ABCD có \(AB = 3a,AC = 2a\) và \(AD = 4a.\) Tính theo a thể tích V của khối tứ diện ABCD biết \(\widehat {BAC} = \widehat {CAD} = \widehat {DAB} = {60^o}.\) A. \(V = 6\sqrt 3 {a^3}.\) B. \(V = 2\sqrt 2 {a^3}.\) C. \(V = 2\sqrt 3 {a^3}.\) D. \(V = 6\sqrt 2 {a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Lấy trên AB, AC, AD các điểm M, N, P sao cho \(AM = AN = AP = a.\) Khi đó AMNP là tứ diện đều có cạnh bằng a. Ta có: \({V_{AMNP}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.\) Mặt khác \(\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{{24}} \Rightarrow {V_{ABCD}} = 2{a^3}\sqrt 2 {\rm{.}}\)
Câu 29: Tính thể tích V của khối lăng trụ có diện tích mặt đáy bằng \(3\sqrt 3 c{m^2}\) và chiều cao bằng \(\sqrt 6 cm.\) A. \(V = 9\sqrt 2 \left( {c{m^3}} \right).\) B. \(V = 3\sqrt 2 \left( {c{m^3}} \right).\) C. \(V = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\left( {c{m^3}} \right).\) D. \(V = 12\sqrt 2 \left( {c{m^3}} \right).\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối lăng trụ là \(V = 3\sqrt 3 .\sqrt 6 = 9\sqrt 2 \left( {c{m^3}} \right).\)
Câu 30: Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\) cùng vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\) và \(SC = 2a.\) Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{1}{4}{a^3}.\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}.\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}.\) D. \(V = \frac{3}{4}{a^3}.\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) Ta có: \(SA = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 ;\,\,{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}.\sin {60^o} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\) Thể tích V của khối chóp S.ABC là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}.\)
