Câu 292: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AB = BC = \frac{1}{2}AD = a\). Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ACD. A. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}}}{3}\) B. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) D. \({V_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = a\sqrt 2 .\) Kẻ \(CI \bot AD\,(I \in AD) \Rightarrow CI = ID = a \Rightarrow CD = \sqrt {C{I^2} + I{D^2}} = a\sqrt 2\) Xét tam giác ACD có: \(CA = CD = a\sqrt 2 ,AD = 2a\) nên ACD vuông cân tại C. Suy ra \({S_{\Delta ACD}} = {a^2}.\) Gọi H là trung điểm của AB vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Vậy \({S_{S.ACD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Câu 293: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng tâm của tam giác SBC. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính tỉ số \(\frac{V}{{V'}}.\) A. \(\frac{V}{{V'}} = \frac{3}{2}\) B. \(\frac{V}{{V'}} = \frac{4}{3}\) C. \(\frac{V}{{V'}} = \frac{5}{3}\) D. \(\frac{V}{{V'}} = 2\) Spoiler: Xem đáp án Theo định lý Ta-let ta có: \(\frac{{d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {G,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{MC}}{{GC}} = \frac{3}{2}.\) Ta có: \(\begin{array}{l} V = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {M,(ABCD)} \right)\\ V' = \frac{1}{3}{S_{ADC}}.d\left( {G,(ABCD)} \right) \end{array}\) Mà các tam giác ABC và ABD có cùng diện tích nên: \(\frac{V}{{V'}} = \frac{{d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {G,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \frac{{MC}}{{GC}} = \frac{3}{2}.\)
Câu 294: Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = \frac{{\sqrt 2 }}{6}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm của ABCD. Ta có: \(SA = SC = 1,AC = \sqrt 2\) Nên tam giác SAC vuông cân tại S. Suy ra: \(SO = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Vậy: \(V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1 = \frac{{\sqrt 2 }}{6}.\)
Câu 295: Do nhu cầu sử dụng các nguyên liệu thân thiện với môi trường. Một công ty sản suất bóng tenis muốn thiết kế một hộp làm bằng giấy cứng để đựng 4 quả bóng tenis có bán kính bằng r, hộp đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo 2 cách như sau: Cách 1: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được đặt dọc, đáy là hình vuông cạnh 2r, cạnh bên bằng 8r. Cách 2: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được xếp theo một hình vuông, đáy của hộp là hình vuông cạnh bằng 4r, cạnh bên bằng 2r. Gọi là diện tích toàn phần của hộp theo cách 1, là diện tích toàn phần của hộp theo cách 2. Tính tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.\) A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{8}\) B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} =1\) C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = 2\) D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{2}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích toàn phần của hình hộp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao b là: \(S = 2{a^2} + 4ab\) Ta có: \(\begin{array}{l} {S_1} = 2{(2r)^2} + 4.2r.8r = 72.{r^2}\\ {S_2} = 2{(4r)^2} + 4.4r.2r = 64{r^2}\\ \Rightarrow \frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{9}{8} \end{array}\)
Câu 296: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = {60^o}\), \(SA = SB = SC = a\sqrt 3 .\) Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt {33} }}{{12}}\) B. \(V = {a^3}\sqrt 2\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của BC, H là tâm tam giác đều ABC. Ta có: \(SH \bot (ABCD)\) tại H, \(AM \bot BC\) \(\begin{array}{l} AM = AB.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ {S_{ABCD}} = BC.AM = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\ AH = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\\ {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3} \end{array}\)
Câu 297: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho \(\frac{{SM}}{{SA}} = k\). Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. A. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 }}{2}\) B. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) C. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{2}\) D. \(k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Vì BC//AD nên mặt phẳng (BMC) cắt (SAD) theo đoạn thẳng MN//AD (N thuộc SD). \(\begin{array}{l} \frac{{{V_{S.BMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = k \Rightarrow {V_{S.MBC}} = k.{V_{S.ABC}} = \frac{k}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ADC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SD}} = {k^2} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = {k^2}.{V_{S.ADC}} = \frac{{{k^2}}}{2}.{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.MBCN}} = \left( {\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2}} \right).{V_{S.ABCD}} \end{array}\) Để mặt phẳng (BMNC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì: \(\frac{k}{2} + \frac{{{k^2}}}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {k^2} + k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}(Do\,k > 0)\)
Câu 298: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính khoảng cách d từ M đến mặt phẳng (SAB). A. \(d = a\sqrt 2\) B. \(d = 2a\) C. \(d = a\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi N là trung điểm của AB. Ta có: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} MN \bot AB\\ MN \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot (SAB)\\ \Rightarrow d(M,(SAB)) = MN = AD = a \end{array}\)
Câu 299: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=2a. Gọi N là trung điểm của AD. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SN và CD. A. \(d = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\) B. \(d =a\sqrt5\) C. \(d =a\sqrt2\) D. \(d = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm BC Vì CD//MN nên CD//(SMN) Suy ra: d(CD;SN)=d(CD,(SMN))=d(D;(SMN))=d(A;(SMN)) (Vì N là trung điểm của AD) Vẽ \(AH \bot SN\) tại H. Ta có: \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} MN \bot SA\\ MN \bot AN \end{array} \right. \Rightarrow MN \bot (SAN)\\ \Rightarrow MN \bot AH \Rightarrow AH \bot (SMN)\\ \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{N^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow d\left( {SN,CD} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \end{array}\)
Câu 300: Cho hình tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc; \(SA = 3a,\,SB = 2a,\,SC = a\). Tính V thể tích khối tứ diện SABC. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(V = 2{a^3}\) C. \(V = {a^3}\) D. \(V =6{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{6}.SA.SB.SC = {a^3}.\)
Câu 301: Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Mỗi cạnh của khối đa diện là cạnh chung của đúng 2 mặt của khối đa diện. B. Hai mặt bất kì của khối đa diện luôn có ít nhất một điểm chung. C. Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt. D. Mỗi mặt của khối đa diện có ít nhất ba cạnh. Spoiler: Xem đáp án Các khẳng định A, C, D đúng Khẳng định B sai vì hai mặt của khối đa diện có thể có điểm chung hoặc không có điểm chung, chẳng hạn hai mặt đối nhau của hình hộp chữ nhật.
