Câu 302: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, \(AB = a,\,BC = 2a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 600. A. \(V = \frac{{2{a^3}}}{{3\sqrt 3 }}\) B. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(SA \bot (ABCD)\) nên góc giữa SB và (ABCD) là \(\widehat {SBA} = {60^0}.\) Ta có: \(SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3\) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Câu 303: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Tính theo a khoảng cách d từ G đến các mặt của tứ diện. A. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{9}\) B. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\) C. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{12}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích khối tứ diện đều cạnh a được tính theo công thức \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\) BCD là tam giác đều cạnh a nên \({S_{BCD}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\) Vì G là trọng tâm tứ diện ABCD nên thể tích tứ diện GBCD là \({V_{G.BCD}} = \frac{1}{3}{V_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{36}}.\) Khoảng cách từ G đến (BCD) là \(d = \frac{{3.{V_{G.BCD}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{9}.\)
Câu 304: Khối đa diện đều có 12 mặt thì có bao nhiêu cạnh? A. 24 B. 12 C. 30 D. 60 Spoiler: Xem đáp án Khối đa diện mười hai mặt đều thuộc loại (5;3) ⇒ Mỗi mặt có 5 cạnh. Mỗi cạnh là cạnh chung của 2 mặt nên tổng số cạnh của đa diện là 12.5:2 = 30 (cạnh).
Câu 305: Hình hộp chữ nhật (không phải là hình lập phương) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Hình hộp chữ nhật mà không phải là hình lập phương thì có 3 mặt đối xứng là mặt phẳng tạo bởi trung điểm của 4 cạnh đôi một song song.
Câu 306: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Tính thể tích V khối chóp S.ABC biết SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 300. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 6 }}{3}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Vì \(CA \bot AB,\,CA \bot SA \Rightarrow CA \bot \left( {SAB} \right)\) Suy ra góc giữa SC và (SAB) là góc \(\widehat {ASC} = {30^0}\) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2\) \(\begin{array}{l} SA = AC.\cot {30^0} = a\sqrt 6 \\ {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3} \end{array}\)
Câu 307: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=3a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = 6{a^3}\) B. \(V = 9{a^3}\) C. \(V = 3{a^3}\) D. \(V = {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = 9{a^3}\)
Câu 308: Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên \(BCC'B'\) là hình vuông cạnh 2a. A. \(V = {a^3}\) B. \(V = {a^3}\sqrt2\) C. \(V = \frac{2{a^3}}{3}\) D. \(V = 2{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Vì ABC là tam giác vuông cân nên: \(\begin{array}{l} AB = AC = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \\ {V_{ABC.A'B'C'}} = BB'.{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.BB'.AB.AC = 2{a^3} \end{array}\)
Câu 309: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có \(AC = 2BD = 4a\), cạnh bên \(SA = a\sqrt 5\), hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H trên cạnh AC sao cho \(AH = \frac{{AC}}{4}\), M là hình chiếu vuông góc của C trên SA. Tính thể tích V của khối chóp SMBC theo a. A. \(V = \frac{{4{a^3}}}{{15}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{{3}}\) C. \(V = \frac{{2{a^3}}}{{3}}\) D. \(V = 2a^3\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = 2a\\ \Rightarrow AM = AC.\sin \widehat {MCA} = AC.\sin \widehat {ASH} = AC.\frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{4a\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow \frac{{AM}}{{AS}} = \frac{4}{5} \Rightarrow {S_{SMC}} = \frac{{{S_{SAC}}}}{5}\\ \Rightarrow {V_{B.SMC}} = \frac{{{V_{B.SAC}}}}{5} = \frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{10}} = \frac{{SH.AC.BD}}{{60}} = \frac{{4{a^3}}}{{15}} \end{array}\)
Câu 310: Cho hình chóp S.ABC, điểm M thuộc đoạn SB sao cho \(2SM = 3MB\), điểm N thuộc đoạn SC sao cho \(3SN = 4NC\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}}.\) A. \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{28}}{{15}}\) B. \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{35}}{{12}}\) C. \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{4}}{{5}}\) D. \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{12}}{{35}}\) Spoiler: Xem đáp án \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SM}}{{SM + \frac{2}{3}SM}}.\frac{{SN}}{{SN + \frac{3}{4}SN}} = \frac{{12}}{{35}}\)
Câu 311: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với \(AB = 4a;AD = 2a\). Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng \(45^0\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\) B. \(V = \frac{{16{a^3}}}{3}\) C. \(V = \frac{{8{a^3}}}{3}\) D. \(V =16a^3\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AB \(\Rightarrow SH \bot (ABCD)\) Ta có \(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {HBS} = {45^o}\) \(\Rightarrow SH = BH,\tan \widehat {HBS} = 2a.\tan {45^o} = 2a\) Ta có \({S_{ABCD}} = AB.AD = 8{a^2}\) \(\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}2a.8{a^2} = \frac{{16{a^3}}}{3}\)
