Câu 312: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, \(\widehat {ABC} = {60^0},SA = a\sqrt 3\) và SA vuông góc với đáy (ABCD). Tính tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{3{a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) C. \(V = {a^3}\sqrt 3\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Do \(\widehat {ABC} = {60^0}\) nên ABC là tam giác đều. Khi đó ta có: \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2.\frac{1}{2}.a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\) Vậy: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{2}.\)
Câu 313: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính tỉ lệ thể tích của hai khối đó. A. \(\frac{5}{{47}}\) B. \(\frac{2}{{47}}\) C. \(\frac{3}{{47}}\) D. \(\frac{1}{{47}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M là trung điểm của A’C’, Ta có: B’M vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’) nên \(B' M \bot A'C.\) Do đó \(M \in \left( P \right).\) Trong mặt phẳng (ACC’A’), kẻ MN vuông góc với A’C \(\left( {N \in AA' } \right),\) do đó \(N \in \left( P \right).\) Thiết diện cắt bởi (P) là tam giác B’MN. Hai tam giác A’C’C và NA’M đồng dạng nên \(A' {\rm N} = \frac{1}{2}A' M = \frac{a}{4}\) Thể tích tứ diện A’B’MN là \({V_1} = \frac{1}{3}A'N.{s_{B' {\rm A}'{\rm M}}} = \frac{1}{3}\frac{a}{4}\frac{1}{2}a\frac{a}{2}\sin {60^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\) Thể tích lăng trụ là \(V = AA' .S{ _{ABC}} = 2a.\frac{1}{2}a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) Ta có \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{{48}}\) nên tỉ lệ thể tích của hai khối là \(\frac{1}{47}\)
Câu 314: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, \(AB = 6a,AC = 7a,AD = 4a\). Gọi P, N lần lượt là các điểm thuộc đoạn thẳng DB, DC sao cho \(2DP = PB,2DN = NC\). Tính theo a thể tích V của tứ diện DANP. A. \(V = \frac{7}{2}{a^3}\) B. \(V = \frac{28}{9}{a^3}\) C. \(V = \frac{28}{3}{a^3}\) D. \(V =7{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.AC.AD = 28{a^3}\) \(\frac{{{V_{D.APN}}}}{{{V_{D.ABC}}}} = \frac{{DP}}{{DB}}.\frac{{DN}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}\) \(\Rightarrow {V_{DAPN}} = \frac{1}{9}{V_{ABCD}} = \frac{{28}}{9}{a^3}\)
Câu 315: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng $30^0$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC? A. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{4}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{12}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}(dvdt),\\ SA = \tan \widehat {SBA}.AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{{{a^3}}}{{12}}(dvtt) \end{array}\)
Câu 316: Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A. B. C. D. Spoiler: Xem đáp án Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: + Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung. + Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác. Ta thấy hình A vi phạm tính chất thứ hai trong điều kiện để có một hình đa diện. Ta thấy cạnh ở giữa không phải là cạnh chung của đúng hai đa giác mà là cạnh chung của bốn đa giác.
Câu 317: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy, SA=a; AB=AC=2a, \(\widehat {BAC} = {120^0}\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{3}{a^3}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{6}{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.2a.2a.\sin {120^0} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 318: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hai mặt phẳng (SAC); (SBD) cùng vuông góc với đáy, AB=a; AD=2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng \(a\sqrt 2\) . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{4}{3}{a^3}\) B. \(V = 3{a^3}\) C. \(V = \frac{1}{3}{a^3}\) D. \(V = \frac{2}{3}{a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo của đáy của hình chóp Theo bài ra ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)}\\ {\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)} \end{array}}\\ {SA = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\) \(AB//DC \Rightarrow d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)\) Ta có \(\frac{{d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{DB}}{{DO}} = 2\) nên \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Kẻ \(OH \bot CD,OK \bot SH\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} OK \bot SH\\ OK \bot CD\,(Do\,CD \bot \left( {SOH} \right)) \end{array} \right.\) \(\Rightarrow OK = d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) Áp dụng hệ thực lượng vào tam giác SOH vuông tại O ta có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} \Rightarrow SO = a\) Thể tích hình cần tính là \(V = \frac{1}{3}a.a.2a = \frac{2}{3}{a^3}\)
Câu 319: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích V, tính thể tích V’ của khối chóp C’.ABC. A. \(V' = \frac{1}{2}V\) B. \(V' = \frac{1}{6}V\) C. \(V' = \frac{1}{3}V\) D. \(V' = V\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích hình chóp sẽ được tính như sau: \(V' = {V_{C'ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {C',\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{3}V\)
Câu 320: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, khoảng cách từ điểm A tới (A’BC) bằng \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. \(V = {a^3}\) B. \(V = 3{a^3}\) C. \(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của BC, kẻ \(AK \bot A'H\) \(\left\{ \begin{array}{l} AK \bot A'H\\ AK \bot BC\,(Do\,BC \bot (A'AH) \end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {A'BC} \right)\)nên \(d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AK\) Ta có \(AH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ,AK = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\). Từ hệ thức \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{AA{'^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} \Rightarrow AA' = a\sqrt 3\) Thể tích hình cần tính là \(V = a\sqrt 3 .\frac{1}{2}.\sqrt 3 a.2a = 3{a^3}\)
Câu 321: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=2a; AD=3a, AA’=3a. Gọi E là trung điểm của cạnh B’C’. Tính thể tích V của khối chóp E.BCD. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(V = {a^3}\) C. \(V = 3{a^3}\) D. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \({V_{E.BCD}} = \frac{1}{3}d\left( {E,\left( {BCD} \right)} \right).{S_{BCD}} = \frac{1}{3}.AA'.\frac{1}{2}{S_{ABCD}} = 3{a^3}\)
