Câu 322: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’; D’. Tính thể tích V’ của khối chóp S.A’B’C’D’. A. \(V' = \frac{V}{3}\) B. \(V' = \frac{2V}{3}\) C. \(V' = \frac{V}{4}\) D. \(V' = \frac{V}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau: Gọi O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’. Qua I kẻ B’D’ song song với BD, khi đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’). Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên \(\frac{{SI}}{{SO}} = \frac{2}{3}\) Theo định lí Ta lét ta có \(\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SI}}{{SO}} = \frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{2}{3}\) Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có: \(\frac{{{V_{SAD'C'}}}}{{{V_{SADC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SD'}}{{SD}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) \(\frac{{{V_{SAB'C'}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\) Mà \({V_{SADC}} = {V_{SABC}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}}\) Nên \({V_{SAD'C'B'}} = {V_{SAD'C'}} + {V_{SAB'C'}} = \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{6}} \right){V_{SABCD}} = \frac{V}{3}\)
Câu 323: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc $$. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) Spoiler: Xem đáp án \(\widehat {BAC} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {60^0}\) Suy ra BAD là tam giác đều cạnh a. \(SO = \frac{{3a}}{4};\,AC = a\sqrt 3 ;\,BD = a\) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a}}{4}.\frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Câu 324: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) sao cho: \(\frac{{S{A_1}}}{{SA}} = \frac{2}{3};\,\frac{{S{B_1}}}{{SB}} = \frac{1}{2};\,\frac{{S{C_1}}}{{SC}} = \frac{1}{3}\). Mặt phẳng \(\left( {{A_1}{B_1}{C_1}} \right)\) cắt SD tại \(D_1\). Tính tỉ số \(\frac{{S{D_1}}}{{SD}}\). A. \(\frac{{S{D_1}}}{{SD}} = \frac{1}{4}\) B. \(\frac{{S{D_1}}}{{SD}} = \frac{1}{3}\) C. \(\frac{{S{D_1}}}{{SD}} = \frac{2}{5}\) D. \(\frac{{S{D_1}}}{{SD}} = \frac{3}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{S.ABC}} = {\rm{ }}{V_{S.BCD}} + {\rm{ }}{V_{S.CDA}} = {\rm{ }}{V_{S.DAB}} = \frac{V}{2}\) \({\textstyle{{{V_{S.{A_1}{B_1}{C_1}}}} \over {{V_{S.ABC}}}}} = {\textstyle{{S{A_1}} \over {SA}}}.{\textstyle{{S{B_1}} \over {SB}}}.{\textstyle{{S{C_1}} \over {SC}}} = {\textstyle{1 \over 9}}(1)\) \({\textstyle{{{V_{S.{A_1}{D_1}{C_1}}}} \over {{V_{S.ADC}}}}} = {\textstyle{{S{A_1}} \over {SA}}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}.{\textstyle{{S{C_1}} \over {SC}}} = {\textstyle{2 \over 9}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}(2)\) Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: \({\textstyle{{{V_{S.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{\textstyle{1 \over 2}}V}}} = {\textstyle{1 \over 9}} + {\textstyle{2 \over 9}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}(3)\) Tương tự: \({\textstyle{{{V_{S.{A_1}{B_1}{D_1}}}} \over {{V_{S.ABD}}}}} = {\textstyle{{S{A_1}} \over {SA}}}.{\textstyle{{S{B_1}} \over {SB}}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}} = {\textstyle{1 \over 3}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}(4)\) \({\textstyle{{{V_{S{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{V_{S.BCD}}}}} = {\textstyle{{S{B_1}} \over {SB}}}.{\textstyle{{S{C_1}} \over {SC}}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}} = {\textstyle{1 \over 6}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}(5)\) Cộng vế theo vế (4) và (5) ta được: \({\textstyle{{{V_{S.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{\textstyle{1 \over 2}}V}}} = {\textstyle{1 \over 2}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}(6)\) Từ (3) và (6) ta có:\({\textstyle{1 \over 2}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}} = {\textstyle{1 \over 9}} + {\textstyle{2 \over 9}}.{\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}}\)\(\Rightarrow {\textstyle{{S{D_1}} \over {SD}}} = {\textstyle{2 \over 5}}\)
Câu 325: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC); AC=AD=4; AB=3; BC=5. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). A. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{6}{{\sqrt {34} }}\) B. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}\) C. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{4}}{{\sqrt {34} }}\) D. \(d\left( {A,(BCD)} \right) = \frac{{3}}{{\sqrt {34} }}\) Spoiler: Xem đáp án Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A Nên: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 6\) \({V_{D.ABC}} = {S_{ABC}}.DA{\rm{ }} = {\rm{ }}8 = {V_{A.BCD}}\) Xét tam giác BCD ta có: \(BC = BD = 5;DC = 4\sqrt 2\) Gọi M là trung điểm của DC thì \(BM \bot DC \Rightarrow BM = \sqrt {17}\) \(\Rightarrow {S_{BCD}} = \frac{1}{2}BM.DC = 2\sqrt {34}\) \(\Rightarrow d\left( {A,\left( {DBC} \right)} \right) = \frac{{3.{V_{A.DBC}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{{12}}{{\sqrt {34} }}\)
Câu 326: Tính thể tích V của khối chóp chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 300. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{6}}\) C. \(V={a^3}\sqrt 3\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{3}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Khi đó \(\widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SAH} = {30^0}\) \(SH = AH.\tan {30^0} = \frac{a}{3}\) Suy ra \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}.\)
Câu 327: Tính thể tích V của khối lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2a,\,AA' = 4a.\) A. \(V = {a^3}\sqrt 3\) B. \(V =4 {a^3}\sqrt 3\) C. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) D. \(V = 3{a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 4a.{a^2}\sqrt 3 = 4\sqrt 3 {a^3}.\)
Câu 328: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, \(\widehat {BAD} = {120^0}\), M là trung điểm của cạnh BC và \(\widehat {SMA} = {45^0}\). Tính khoảng cách d từ D đến mặt phẳng (SBC). A. \(d = a\sqrt 3\) B. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) C. \(d = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Do ABCD là hình thoi và \(\widehat {BAD} = {120^0}\). Suy ra ABC là tam giác đều cạnh a. Nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Xét tam giác SAM vuông tại A. Ta có: \(SA = AM.\tan {45^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{8}\) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AM\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow SM \bot BC\) Xét tam giác SAM vuông tại A: \(SM = \sqrt {A{S^2} + A{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}.SM.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\) Ta có: \(\begin{array}{l} {V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} \Rightarrow \frac{1}{3}d\left( {A,(SBC)} \right).{S_{SBC}} = \frac{{{a^3}}}{8}\\ \Rightarrow d\left( {A,(SBC)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{4} \end{array}\)
Câu 329: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc $30^0$. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{4}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{2}}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: Tam giác A’IC vuông tại I. \(\begin{array}{l} CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\widehat {IA'C} = {30^0}\\ \Rightarrow A'I = \frac{{CI}}{{\tan {{30}^0}}} = \frac{{3a}}{2},\,AI = \frac{a}{2}\\ \Rightarrow AA' = a\sqrt 2 \end{array}\) Vậy thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
Câu 330: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(BA = 3a,BC = 4a\) và AB vuông góc với mặt phẳng (SBC). Biết \(SB = 2a\sqrt 3\) và \(\widehat {SBC} = {30^0}\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) C. \(V = {a^3}\sqrt 3\) D. \(V = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án Diện tích tam giác SBC là: \({S_{SBC}} = \frac{1}{2}.2a\sqrt 3 .4a.\sin {30^0} = 2{a^2}\sqrt 3\). Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} = \frac{1}{3}AB.{S_{SBC}} = 2{a^3}\sqrt 3\).
Câu 331: Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 5 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần? A. 5 lần B. 25 lần C. 125 lần D. 10 lần Spoiler: Xem đáp án Diện tích đáy tăng: \(5^2\) lần Vậy thể tích tăng lên \({5^2} \times 5 = 125\) lần.
