Câu 332: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích là V. Gọi M,N,Q lần lượt là trung điểm của AD, DC và B’C’. Tính thể tích của khối tứ diện QBMN. A. \({V_{QBMN}} = \frac{{3V}}{8}\) B. \({V_{QBMN}} = \frac{{8V}}{3}\) C. \({V_{QBMN}} = \frac{{V}}{8}\) D. \({V_{QBMN}} = \frac{{V}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \({V_{QBMN}} = \frac{1}{3}.d\left( {Q;\left( {BMN} \right)} \right).{S_{BMN}}\left( 1 \right)\) . Tứ diện QBMN và hình hộp ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng nhau. Nên ta chỉ đi tìm tỉ lệ \(\frac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{ABCD}}}}\). Ta có \({S_{ABCD}} = {S_{DMN}} + {S_{ABM}} + {S_{BNC}} + {S_{BMN}}\) \(\Rightarrow {S_{BMN}} = {S_{ABCD}} = {S_{DMN}} - {S_{AMB}} - {S_{BNC}}\) Mặt khác ta có: \(\frac{{{S_{DMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{DMN}}}}{{2{S_{ADC}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8};\) \(\frac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{ABM}}}}{{2{S_{ABD}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) Tương tự thì: \(\frac{{{S_{BNC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{1}{4}\) Khi đó \({S_{BMN}} = \left( {1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right){S_{ABCD}}\) Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{V_{QBMN}}}}{{_{ABCD}}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{8} = \frac{1}{8}\)\(\Rightarrow {V_{QBMN}} = \frac{V}{8}\).
Câu 333: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính tỉ số \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}}\)? A. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{2}\) B. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{8}\) C. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{6}\) D. \(\frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{1}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Nhận thấy hai khối chóp A.MNS và A.BCS có chung chiều cao từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC), do đó ta chỉ đi so sánh diện tích của hai đáy SMN và SBC. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SBC, do đó \(MN = \frac{1}{{2BC}}\) . Khi đó áp dụng định lý Ta-let ta có \(\frac{{d\left( {S;MN} \right)}}{{d\left( {S;BC} \right)}} = \frac{1}{2}\). Suy ra: \(\frac{{{S_{SMN}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}MN.d(S,MN)}}{{\frac{1}{2}.BC.d(S,BC)}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Khi đó \(\frac{{{V_{A.MNS}}}}{{{V_{A.BSC}}}} = \frac{{{V_{SAMN}}}}{{{V_{SBAC}}}} = \frac{1}{4}\).
Câu 334: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\sqrt 3\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^0\). A. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{3a\sqrt[3]{2}}}{2}\) B. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{3a\sqrt[3]{3}}}{4}\) C. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{3a\sqrt[3]{6}}}{2}\) D. \({V_{S.ABCD}} = \frac{{a\sqrt[3]{6}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Ta có:\(OA = OB = OC = OD = \frac{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt 6 a}}{2}\) Theo bài ra ta có góc giữa cạnh bên với mặt đáy là \(\widehat {SBO}\) và \(\widehat {SBO} = {60^0}\). Ta có: \(SO = OB\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 3 = \frac{{a\sqrt {18} }}{2}\). Thể tích cần tính là: \({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {18} }}{2}.3{a^2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 335: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có các kích thước \(a,2a,a\sqrt 3\). Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A’B’C’D’. A. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(V = 2{a^3}\sqrt 3\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) D. \(V = {a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của hình hộp chữ nhật: \(V = a.2a.a\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3\)
Câu 336: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm OA ⇒ SH ⊥ (ABCD) Vẽ HE ⊥ CD tại E ⇒ HE // AD Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD và CD ⊥ (SHE) nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc SEH = 600 \(HE = \frac{3}{4}AD = \frac{{3a}}{4}\) \(SH = HE.\tan {60^0} = \frac{{3a\sqrt 3 }}{4}\) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Câu 337: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích V của hình chóp S. ABC. A. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Góc giữa SB và (ABC) là góc \(\widehat {SBA} = {\rm{ }}{45^0}\). Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a nên có diện tích: \(S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) \(SA = AB.\tan {45^0} = a\) \(\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)
Câu 338: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{3}{2}{a^3}\) B. \(V = \frac{1}{2}{a^3}\) C. \(V = \frac{4}{3}{a^3}\) D. \(V = {a^3}\) Spoiler: Xem đáp án Đáp án đúng: B
Câu 339: Cho một hình hộp chữ nhật có 3 mặt có diện tích bằng 12, 15 và 20. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó. A. V = 960 B. V = 20 C. V = 60 D. V = 2880 Spoiler: Xem đáp án Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức \(V = \sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}}\) với S1; S2; S3 là diện tích các mặt (đôi một chung cạnh) của hình hộp đó Áp dụng công thức ta có V = 60
Câu 340: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A_1B_1C_1D_1$ có \(BD = \sqrt {13} ,B{A_1} = \sqrt {29} ,C{A_1} = \sqrt {38}\). Tính thể tích V của khối hộp ABCD.A1B1C1D1. A. \(V = 10\) B. \(V = 15\) C. \(V = 20\) D. \(V = 30\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} BC = \sqrt {C{A_1}^2 - B{A_1}^2} = 3\\ AB = CD = \sqrt {B{D^2} - B{C^2}} = 2\\ A{A_1} = \sqrt {B{A_1}^2 - A{B^2}} = 5\\ \Rightarrow {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = BC.AB.A{A_1} = 30 \end{array}\)
Câu 341: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(AB = a\sqrt 3 ,\,BC = a\). Tam giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBC). A. \(h = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\) B. \(h = \frac{{a\sqrt 5 }}{3}\) C. \(h = \frac{{2a\sqrt 5 }}{3}\) D. \(h = \frac{{2a\sqrt {15} }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi H là trung điểm của AC ta có: \(SH \bot \left( {SAC} \right)\) ABC vuông tại B nên:\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\) SAC là tam giác đều nên: SC=SA=AC=2a. Vậy: \(SH = \sqrt {S{A^2} - H{A^2}} = a\sqrt 3\) \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.BC.SH = \frac{1}{2}{a^3}\) Do ABC là tam giác vuông nên \(BH = \frac{1}{2}AC = a \Rightarrow SB = \sqrt {S{H^2} + B{H^2}} = 2a\) Xét tam giác SBC có: SC=SB=2a, BC=a Vậy diện tích tam giác SAC là: \({S_{\Delta SBC}} = \frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{4}\) Ta có: \(\begin{array}{l} {V_{S.ABC}} = {V_{A.SBC}} = \frac{1}{3}.{S_{SBC}}.d(A,(SBC))\\ \Rightarrow d(A,(SBC) = \frac{{3.{V_{A.SBC}}}}{{{S_{SBC}}}} = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5} \end{array}\)
