Câu 342: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau và bằng \(a\sqrt 2\). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) D. \(V= {a^3}\sqrt 3\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} SO \bot \left( {ABCD} \right)\\ AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\\ SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3} \end{array}\)
Câu 343: Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A_1B_1C_1$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AA_1$.Tính thể tích $V$ của khối chóp $M.BCA_1$. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{6}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{8}}\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác ABC đều nên: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) Ta có: \(AM = \frac{{A{A_1}}}{2} = \frac{a}{2}\) \({S_{MAB}} = \frac{1}{2}.MA.AB = \frac{1}{2}M{A_1}.AB = {S_{M{A_1}B}}\) Hai tứ diện MABC và MBC A1 có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB và MA1 B bằng nhau, suy ra: \({V_{M.BC{A_1}}} = {V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}AM.{S_{ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Câu 344: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lặng trụ lục giác đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khôi trụ có đường kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính thể tích V của lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). A. \(V = 1,3\,{m^3}\) B. \(V = 2,0\,{m^3}\) C. \(V = 1,2\,{m^3}\) D. \(V = 1,9\,{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác đêu cạnh 14. Diên tích mỗi tam giác là \({S_\Delta } = 49\sqrt 3 \,(c{m^2})\), suy ra diện tích đáy: \({S_1} = 294\sqrt 3\). Với cột bê tông đã trát vữa hình trụ: Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15cm, nên có diện tích là: \({S_2} = 225\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) Vậy thể tích số lượng vữa cần dùng để trát thêm là: \(V = 17.390.\left( {225\pi - 294\sqrt 3 } \right) \approx {1,31.10^6}\,\left( {c{m^3}} \right) \approx 1,31\,\left( {{m^3}} \right)\)
Câu 345: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, độ dài cạnh BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. A. \(V = \frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) C. \(V = \frac{{{a^3}}}{6}\) D. \(V = a^3\) Spoiler: Xem đáp án Thể tích của khối chóp là: \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{6}SA.BA.BC = \frac{{{a^3}}}{3}\)
Câu 346: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA = a\sqrt 3\) . Biết diện tích tam giác SAB là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\). Tính khoảng cách d từ B đến mặt phẳng (SAC). A. \(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\) B. \(d = \frac{{a\sqrt {10} }}{3}\) C. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) D. \(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án \(\begin{array}{l} SA \bot \left( {ABCD} \right) = SA \bot AB\\ {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SA.AB \Rightarrow AB = a\\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = {a^2} \end{array}\) Thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\) Ta có: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) \({S_{\Delta SAC}} = \frac{1}{2}SA.AC = \frac{1}{2}a\sqrt 3 .a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{2}\) Mặt khác: \(\begin{array}{l} {V_{S.ABC}} = {V_{B.SAC}} = \frac{1}{3}{S_{SAC}}.d(B,(SAC))\\ \Rightarrow d\left( {B,(SAC)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)
Câu 347: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi. B. Tứ diện là đa diện lồi. C. Hình lập phương là đa diện lồi. D. Hình hộp là đa diện lồi. Spoiler: Xem đáp án Tứ diện, lập phương, hình hộp là đa diện lồi. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau có thể là đa diện lồi hoặc không phải là đa diện lồi.
Câu 348: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy lần lượt là 13cm, 14cm, 15cm; độ dài cạnh bên bằng 8 và tạo với đáy một góc 300. Tính thể tích V của khối lăng trụ. A. \(V = 340\,c{m^3}\) B. \(V = 274\sqrt 3 \,c{m^3}\) C. \(124\sqrt 3 \,c{m^3}\) D. \(336\,c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Tam giác đáy của lăng trụ có diện tích \(S = \sqrt {p(p - 13)(p - 14)(p - 15)} = 84\) với \(p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2}\) Chiều cao lăng trụ: \(h = 8.\sin {30^0} = 4\) Thể tích lăng trụ là \(V = S.h = 336\)
Câu 349: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng. “Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số mặt của hình đa diện ấy” A. nhỏ hơn B. nhỏ hơn hoặc bằng C. bằng D. lớn hơn Spoiler: Xem đáp án Số cạnh của hình đa diện luôn lơn hơn số mặt của hình đa diện đó.
Câu 350: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy; \(BC = 9m,AB = 10m,AC = 17m\). Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 73m3. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). A. \(h = \frac{{42}}{5}m\) B. \(h = \frac{{18}}{5}m\) C. \(h = \sqrt {34} m\) D. \(h = \frac{{24}}{5}m\) Spoiler: Xem đáp án \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 36\) với \(p = \frac{{AB + BC + CA}}{2}\) \(V = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} \Rightarrow SA = 6\) \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2\sqrt {34}\) \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = 5\sqrt {13}\) \({S_{SBC}} = \sqrt {p(p - SB)(p - BC)(p - SC)} = 45\) với \(p = \frac{{SB + BC + SC}}{2}\) Ta có: \({V_{A.SBC}} = {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{SBC}}.d\left( {A,(SBC)} \right)\) \(\Rightarrow d\left( {A,(SBC)} \right) = \frac{{24}}{5}\)
Câu 351: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng. “Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số đỉnh của hình đa diện ấy” A. nhỏ hơn B. nhỏ hơn hoặc bằng C. lớn hơn D. bằng Spoiler: Xem đáp án Số cạnh của một hình đa diện luôn lơn hơn số đỉnh của đa diện ấy.
