Câu 352: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông; mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; \(BC = a\sqrt 3\). Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). A. \(h = \frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}\) B. \(h = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) C. \(h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) D. \(h = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì tam giác SAB đều và \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SM \bot \left( {ABCD} \right)\) Vì \(AM//CD \Rightarrow AM//(SCD) \Rightarrow h = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)\) Vì \(MN//BC \Rightarrow MN \bot CD\) Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SN. \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot MN\\ CD \bot SM \end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot MH\) \(\Rightarrow MH \bot \left( {SCD} \right)\) \(MN = AB = BC = a\sqrt 3\) \(SM = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}\) \(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{N^2}}} \Rightarrow SH = \frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}\)
Câu 353: Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\) C. \(V = \frac{{a\sqrt[3]{3}}}{2}\) D. \(V = \frac{{a\sqrt[3]{3}}}{4}\) Spoiler: Xem đáp án Hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh a nên có diện tích đáy \(S= \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\), chiều cao h = a. Vậy thể tích lăng trụ là: \(V = a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Câu 354: Tính thể tích V của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(V = \frac{{{a^3}}}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a nên diện tích đáy là a2 Gọi O là tâm của hình vuông khi đó SO là chiều cao của hình chóp \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\) Khi đó ta có \(V = \frac{1}{3}.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
Câu 355: Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? A. Năm mặt B. Hai mặt C. Ba mặt D. Bốn mặt Spoiler: Xem đáp án Mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
Câu 356: Một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông có cạnh bằng 12 cm rồi gấp lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tìm độ dài của cạnh của hình vuông để dung tích của hộp bằng $4800$ $cm^3$. A. 38 cm B. 36 cm C. 44 cm D. 42 cm Spoiler: Xem đáp án Gọi cạnh của hình vuông ban đầu là x (cm) Do cắt bỏ ở mỗi góc một hình vuông có cạnh 12 cm, nên hình hộp sẽ có đáy là hình vuông có cạnh x - 24, chiều cao h = 12. Theo đề bài ta có: \({V_{hinh\,\,hop\,sau\,\,khi\,\,cat}} = {\left( {x - 24} \right)^2}.12 = 4800\) Suy ra \(x = 44\left( {cm} \right)\)
Câu 357: Một hình chóp tứ giác đều có mấy mặt đối xứng? A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Spoiler: Xem đáp án Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu của đỉnh S trùng với tâm của đáy ABCD. Hình chóp S.ABCD có các mặt đối xứng là (SAC), (SBD), (SGI), (SHJ) với G, H, I, J lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Câu 358: Tính thể tích V của khối lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt của hình lập phương bằng 96. A. V=125 B. V=216 C. V=81 D. V=64 Spoiler: Xem đáp án Ta có diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh a là \(6a^2\). Nên ta có: \(6{a^2} = 96 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow V = {a^3} = 64\)
Câu 359: Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha\). Tính thể tích V cuả khối chóp đó. A. \(V = \frac{3}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha\) B. \(V = \frac{3}{4}{b^3}\cos \alpha si{n^2}\alpha\) C. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}\cos \alpha sin\alpha\) D. \(V = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha\) Spoiler: Xem đáp án Hình chóp tam giác đều ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a. Góc giữa AB với đáy là \(\alpha\) Gọi O là tâm của đáy, H là trung điểm của CD. Ta có: \(\begin{array}{l} AO = AB.\sin \alpha = b\sin \alpha \\ BO = AB.\cos \alpha = b\cos \alpha \\ BH = \frac{3}{2}BO = \frac{3}{2}b\cos \alpha \\ BC = \frac{{BH}}{{\sin {{60}^0}}} = b\cos \alpha \sqrt 3 \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}CD.BH = \frac{1}{2}BC.BH = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{b^2}{\cos ^2}\alpha \\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{2}AO.{S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \end{array}\)
Câu 360: Một khối chóp có đáy là đa giác n cạnh. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau B. Số đỉnh của khối chóp bằng C. Số cạnh của khối chóp bằng D. Số mặt của khối chóp bằng 2n Spoiler: Xem đáp án Khối chóp có đáy là đa giác n cạnh thì có n+1 đỉnh, n+1 mặt và 2n cạnh.
Câu 361: Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha\). Tính thể tích V của khối chóp đó. A. \(V = \frac{{{a^2}\tan \alpha }}{{12}}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\cot \alpha }}{{12}}\) C. \(V = \frac{{{a^3}\tan \alpha }}{{12}}\) D. \(V = \frac{{{a^3}\cot \alpha }}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Hình chóp tam giác đều ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a. Góc giữa AB với đáy là \(\alpha\) Gọi O là tâm của đáy, H là trung điểm của CD. Ta có: \(\widehat {ABO} = \alpha\) \(\begin{array}{l} BH = BC.\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ {S_{BCD}} = \frac{1}{2}BH.CD = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\ BO = \frac{2}{3}BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ AO = BO.\tan \alpha = \frac{{a\sqrt 3 .\tan \alpha }}{3}\\ {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}AO.{S_{BCD}} = \frac{{{a^3}\tan \alpha }}{{12}} \end{array}\)
