Câu 362: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác cân,\(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^0}\) . Mặt phẳng (AB'C') tạo với đáy góc 600. Tính thể tích V của lăng trụ ABC.A'B'C'. A. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) B. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\) C. \(V = a^3\) D. \(V = \frac{{3a^3 }}{8}\) Spoiler: Xem đáp án Kẻ \(A'I \bot B'C'\). Suy ra: \(A'I = a\cos {60^0} = \frac{a}{2}\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} A'A \bot B'C'\\ A'I \bot B'C' \end{array} \right. \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'I} \right) \Rightarrow AI \bot B'C'\) Suy ra \(\widehat {\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {AIA'}\) Theo bài ra ta có \(\widehat {AIA'} = {60^0}\) suy ra \(AA' = \frac{a}{2}\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Thể tích cần tính là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{A'B'C'}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2}{a^2}\sin \left( {{{120}^0}} \right) = \frac{{3{a^3}}}{8}\)
Câu 363: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng . Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho: \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD). A. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) B. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3}}{2}\) C. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = a\) D. \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) Spoiler: Xem đáp án \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\) Áp dụng pitago ta có: \(D{I^2} = A{I^2} + A{D^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}\),\(S{A^2} = S{I^2} + A{I^2} = {a^2}\) ,\(S{D^2} = S{I^2} + D{I^2} = 2{a^2}\) \(S{D^2} = S{A^2} + D{A^2} \Rightarrow \Delta SAD\) vuông tại A nên: \({S_{\Delta SAD}} = \frac{1}{2}AD.{\rm{SA}} = \frac{1}{2}{a^2}\) Vậy khoảng cách cần tìm là: \(d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = \frac{{3{V_{SACD}}}}{{{S_{\Delta SAD}}}} = \frac{{3{V_{SABCD}}}}{{2{S_{\Delta SAD}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Câu 364: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối chóp O.A'B'C'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' . Tính tỉ số \(\frac{V_1}{V_2}\). A. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\) B. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\) C. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{4}\) D. \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Nhận xét: Hai khối cần tìm thể tích có chung đáy và chiều cao, chỉ khác một hình là khối chóp, còn một hình là khối hộp chữ nhật. Mặt khác ta có \({V_{chop}} = \frac{1}{3}S.h\);\({V_{hh}} = S.h \Rightarrow\) \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{3}\)
Câu 365: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với AB=3cm; AD=6cm và độ dài đường chéo AC'=9cm . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A'B'C'D'? A. \(V = 108c{m^3}\) B. \(V = 81c{m^3}\) C. \(V = 102c{m^3}\) D. \(V = 90c{m^3}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 3\sqrt 5\) \(CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = 6\) Vậy thể tích hình hộp là:\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = 3.6.6 = 108\)
Câu 366: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, \(\widehat {ABC} = {30^0}\); SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). A. \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\) B. \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {26} }}{{13}}\) C. \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\) D. \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {52} }}{{13}}\) Spoiler: Xem đáp án Gọi E là trung điểm cuả BC khi đó: \(SE \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Ta có: \(BC = a \Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AC = \frac{a}{2}\) Vậy thể tích của khối chóp là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{{16}}\). Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích tam giác SAB. Ta có: \(AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,SB = a;\,SA = \sqrt {S{E^2} + E{A^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\) Áp dụng công thức Heron ta được: \({S_{\Delta SAB}} = \sqrt {p(p - SA)(p - SB)(p - AB)} = \frac{{\sqrt {39} }}{{16}}{a^2}\) \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)
Câu 367: Cho hình chóp S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho \(SA' = \frac{1}{2}SA\); \(SB' = \frac{1}{2}SB;SC' = \frac{1}{2}SC\). Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và khối đa diện ABCA’B’C’. Tính tỷ số \(\frac{{V'}}{V}\). A. \(\frac{7}{8}\) B. \(\frac{7}{12}\) C. \(\frac{5}{6}\) D. \(\frac{13}{6}\) Spoiler: Xem đáp án Ta có: \(\frac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\) \(\Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} \Rightarrow V' = {V_{S.ABC}} - {V_{S.A'B'C'}} = \frac{7}{8}{V_{S.ABC}}\) \(\Rightarrow \frac{{V'}}{V} = \frac{7}{8}\)
Câu 368: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. A. \(\frac{{{a^3}}}{2}\) B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\) C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\) D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\) Spoiler: Xem đáp án Khối lăng trụ của đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h=a. Nên có thể tích là: \(V = {S_{day}}.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
Câu 369: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 154m; độ dài cạnh đáy là 270m. Khi đó thể tích của khối kim tự tháp là: A. 3 742 200 B. 3 640 000 C. 3 500 000 D. 3 545 000 Spoiler: Xem đáp án Kim tự tháp có đáy là hình vuông có độ dài cạnh 270m, chiều cao 154m. Vậy thể tích của kim tự tháp là: \({V_{kim\,\,\,tu\,\,thap}} = \frac{1}{3}{.154.270^2} = 3742200\,\left( {{m^3}} \right)\)
Câu 370: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Thể tích của hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau là bằng nhau. B. Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao C. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau D. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau Spoiler: Xem đáp án Vì thể tích khối chóp bằng 1/3 diện tích đáy nhân chiều cao nên nếu 2 khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì chúng có thể tích bằng nhau. Thể tích lăng trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có cạnh bằng nhau nên có thể tích bằng nhau. Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau chưa thể khẳng định chúng có thể tích bằng nhau nên khẳng định D sai.
Câu 371: Cho hình chóp S.ABC có \(ASB = BSC = CSA = {60^0},SA = 3,SB = 4,SC = 5\). Tính khoảng cách d từ C đến mặt phẳng (SAB). A. \(d=5\sqrt 2\) B. \(d=\frac{{5\sqrt 2 }}{3}\) C. \(d=\frac{{\sqrt 3 }}{3}\) D. \(d=\frac{{5\sqrt 6 }}{3}\) Spoiler: Xem đáp án Trên cạnh SB, SC lần lượt lấy B’, C’ sao cho SB’=SC’=SA=3. Suy ra SAB’C’ là tứ diện đều cạnh bằng 3. SAB’ là tam giác đều cạnh bằng 3. Ta có: \({S_{SAB}} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\) \({V_{S.A'B'C'}} = \frac{{{3^2}\sqrt {12} }}{{12}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4} = \frac{1}{3}d\left( {C',(SAB)} \right).{S_{SAB}}\) \(\Rightarrow d\left( {C',(SAB)} \right) = \frac{{3.{V_{S.A'B'C'}}}}{{{S_{SAB}}}} = \sqrt 6\) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C và C’ lên mặt phẳng (SAB) Do S, C, C’ thẳng hàng nên S, K, H thẳng hàng. Ta có: \(\Delta SHC \sim \Delta SKC'\)(Chung góc \($\widehat S,\widehat {SHC} = \widehat {SHK} = {90^0}$\) ) Nên: \(\frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{CH}}{{C'K}} = \frac{{d\left( {C,(SAB)} \right)}}{{d\left( {C',(SAB)} \right)}} = \frac{3}{5}\) \(\Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}\)
